a, b, c, d の4つの文字を1列に並べるとき、1番目が a ではなく、2番目が b ではなく、3番目が c ではなく、4番目が d ではない並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

a, b, c, d の4つの文字を1列に並べるとき、1番目が a ではなく、2番目が b ではなく、3番目が c ではなく、4番目が d ではない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

この問題は、包除原理を使って解くことができます。

全体の並べ方から、条件を満たさない並べ方を引いていきます。

* **全体の並べ方**: 4つの文字を並べる順列なので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

* **条件を満たさない並べ方**:

* A = {1番目が a の並べ方}

* B = {2番目が b の並べ方}

* C = {3番目が c の並べ方}

* D = {4番目が d の並べ方}

とします。求めたいのは $N(A \cup B \cup C \cup D)$ です。

包除原理より、

$N(A \cup B \cup C \cup D) = N(A) + N(B) + N(C) + N(D) - N(A \cap B) - N(A \cap C) - N(A \cap D) - N(B \cap C) - N(B \cap D) - N(C \cap D) + N(A \cap B \cap C) + N(A \cap B \cap D) + N(A \cap C \cap D) + N(B \cap C \cap D) - N(A \cap B \cap C \cap D)$

を計算します。

* $N(A) = N(B) = N(C) = N(D) = 3! = 6$

* $N(A \cap B) = N(A \cap C) = N(A \cap D) = N(B \cap C) = N(B \cap D) = N(C \cap D) = 2! = 2$

* $N(A \cap B \cap C) = N(A \cap B \cap D) = N(A \cap C \cap D) = N(B \cap C \cap D) = 1! = 1$

* $N(A \cap B \cap C \cap D) = 1$

したがって、

$N(A \cup B \cup C \cup D) = 4 \times 6 - 6 \times 2 + 4 \times 1 - 1 = 24 - 12 + 4 - 1 = 15$

* **条件を満たす並べ方**:

全体の並べ方から、条件を満たさない並べ方を引きます。

$24 - 15 = 9$

3. 最終的な答え

9通り