2種類の記号 (○、●) を用いて記号を1列に並べる。100通りの記号を作るためには、最小限何個まで並べる必要があるかを求める。

1. 問題の内容

2種類の記号 (○、●) を用いて記号を1列に並べる。100通りの記号を作るためには、最小限何個まで並べる必要があるかを求める。

2. 解き方の手順

n個の記号を並べる場合、各記号は○か●の2通りなので、$2^n$通りの記号を作ることができる。

1個からn個までの記号を並べる場合の総数を$S_n$とすると、

$S_n = 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = \sum_{k=1}^{n} 2^k$

この式は等比数列の和の公式を使って計算できる。初項が2、公比が2、項数がnなので、

$S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 2$

$S_n \ge 100$となる最小のnを求めればよい。

$2^{n+1} - 2 \ge 100$

$2^{n+1} \ge 102$

$n+1 \ge \log_2{102}$

$2^6 = 64$

$2^7 = 128$

なので、$2^6 < 102 < 2^7$

したがって、$n+1=7$の時、$2^{n+1} = 128 \ge 102$となる。

$n = 6$

$S_6 = 2^7 - 2 = 128 - 2 = 126$

$S_5 = 2^6 - 2 = 64 - 2 = 62$

よって、6個並べる必要がある。

3. 最終的な答え

6個