(1) $(3x+2)^5$ の展開式における $x^4$ の係数を求める。 (2) $(2x-3y)^7$ の展開式における $x^4y^3$ の係数を求める。

1. 問題の内容

(1) $(3x+2)^5$ の展開式における $x^4$ の係数を求める。

(2) $(2x-3y)^7$ の展開式における $x^4y^3$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理より、$(3x+2)^5$ の展開式の一般項は、

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{}_5 C_r (3x)^r 2^{5-r} = {}_5 C_r 3^r 2^{5-r} x^r

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$x^4$ の係数を求めたいので、$r=4$ とすると、

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{}_5 C_4 3^4 2^{5-4} = 5 \cdot 81 \cdot 2 = 810

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したがって、$x^4$ の係数は 810 である。

(2) 二項定理より、$(2x-3y)^7$ の展開式の一般項は、

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{}_7 C_r (2x)^{7-r} (-3y)^r = {}_7 C_r 2^{7-r} (-3)^r x^{7-r} y^r

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$x^4y^3$ の係数を求めたいので、$7-r=4$ かつ $r=3$ となる。$r=3$ を代入すると、

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{}_7 C_3 2^{7-3} (-3)^3 = {}_7 C_3 2^4 (-3)^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 16 \cdot (-27) = 35 \cdot 16 \cdot (-27) = 35 \cdot (-432) = -15120

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したがって、$x^4y^3$ の係数は -15120 である。

3. 最終的な答え

(1) 810

(2) -15120