$x = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sqrt{2} - 1$ から $\frac{1}{x}$ を計算します。

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$$

$\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{2} + 1$ をかけます。

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$$

したがって、 $\frac{1}{x} = \sqrt{2} + 1$ です。

次に、$x + \frac{1}{x}$ を計算します。

$$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2}$$

$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求めるために、$(x + \frac{1}{x})^2$ を計算します。

$$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \times x \times \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$

したがって、$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$ です。

$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ より、

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = (2\sqrt{2})^2 - 2 = 4 \times 2 - 2 = 8 - 2 = 6$$

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$