$\sqrt{2}$ が無理数である理由を説明します。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数である理由を説明します。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

(1) $\sqrt{2}$ が有理数であると仮定します。

(2) $\sqrt{2}$ は互いに素な整数 $m, n$ を用いて $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ と表すことができると仮定します。

(3) 両辺を2乗すると、

$2 = \frac{m^2}{n^2}$

(4) $m^2 = 2n^2$

(5) よって、$m^2$ は偶数です。

(6) $m^2$ が偶数であるならば、$m$ も偶数です。なぜなら、$m$ が奇数ならば、$m^2$ も奇数になるからです。

(7) $m$ が偶数なので、$m = 2k$ (kは整数) と表すことができます。

(8) $m = 2k$ を $m^2 = 2n^2$ に代入すると、

$(2k)^2 = 2n^2$

$4k^2 = 2n^2$

$2k^2 = n^2$

(9) よって、$n^2$ は偶数です。

(10) $n^2$ が偶数であるならば、$n$ も偶数です。

(11) $m$ と $n$ はともに偶数となり、これは $m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

(12) したがって、$\sqrt{2}$ は有理数であるという仮定が誤りです。

(13) よって、$\sqrt{2}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$ を有理数と仮定すると、$\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ (m, nは互いに素な整数) と表せる。両辺を2乗して整理すると、$m^2 = 2n^2$ となる。したがって、$m^2$ は偶数であり、$m$ も偶数である。$m = 2k$ (kは整数) とおくと、$4k^2 = 2n^2$ より、$n^2 = 2k^2$ となり、$n^2$ は偶数であり、$n$ も偶数である。m, nがともに偶数となり、互いに素であるという仮定に矛盾する。よって、$\sqrt{2}$ は無理数である。