$a$ は定数とする。2次方程式 $x^2 - 2ax - a^2 + 2a = 0$ が実数解を持ち、すべての解 $x$ が $0 \le x \le 2$ を満たすような $a$ の値の範囲を求める。

はい、承知いたしました。2つの問題がありますので、それぞれ解答します。

**問題 233**

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。2次方程式 $x^2 - 2ax - a^2 + 2a = 0$ が実数解を持ち、すべての解 $x$ が $0 \le x \le 2$ を満たすような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式の解を求めます。解の公式を用いると：

$x = \frac{-(-2a) \pm \sqrt{(-2a)^2 - 4(1)(-a^2 + 2a)}}{2(1)}$

$x = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 + 4a^2 - 8a}}{2}$

$x = \frac{2a \pm \sqrt{8a^2 - 8a}}{2}$

$x = a \pm \sqrt{2a^2 - 2a}$

実数解を持つためには、判別式 $D \ge 0$ である必要があります。

$D = 8a^2 - 8a \ge 0$

$8a(a - 1) \ge 0$

したがって、$a \le 0$ または $a \ge 1$ である必要があります。

次に、$0 \le x \le 2$ が満たされる条件を考えます。

解 $x = a \pm \sqrt{2a^2 - 2a}$ が $0 \le x \le 2$ を満たす必要があります。

$0 \le a - \sqrt{2a^2 - 2a}$ かつ $a + \sqrt{2a^2 - 2a} \le 2$ である必要があります。

まず、$0 \le a - \sqrt{2a^2 - 2a}$ について考えます。

$\sqrt{2a^2 - 2a} \le a$

$2a^2 - 2a \le a^2$

$a^2 - 2a \le 0$

$a(a-2) \le 0$

したがって、$0 \le a \le 2$.

次に、$a + \sqrt{2a^2 - 2a} \le 2$ について考えます。

$\sqrt{2a^2 - 2a} \le 2 - a$

$2a^2 - 2a \le 4 - 4a + a^2$

$a^2 + 2a - 4 \le 0$

これを満たす $a$ の範囲は、二次方程式 $a^2 + 2a - 4 = 0$ の解を $a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$ とすると、$-1 - \sqrt{5} \le a \le -1 + \sqrt{5}$ となります。

これらすべての条件を組み合わせると：

$a \le 0$ または $a \ge 1$

$0 \le a \le 2$

$-1 - \sqrt{5} \le a \le -1 + \sqrt{5}$

したがって、$1 \le a \le -1 + \sqrt{5}$ となります。

$-1+\sqrt{5} \approx 1.236$

3. 最終的な答え

$1 \le a \le -1 + \sqrt{5}$

**問題 234**

1. 問題の内容

$a$ を 0 でない定数とする。すべての $x$ に対して、$ax^2 + 2ax - 3 + \frac{4}{a} < 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

すべての $x$ に対して $ax^2 + 2ax - 3 + \frac{4}{a} < 0$ が成り立つためには、次の2つの条件が必要です。

(1) $a < 0$ (上に凸であること)

(2) 判別式 $D < 0$ (常に負の値をとること)

判別式を計算します。

$D = (2a)^2 - 4(a)(-3 + \frac{4}{a}) = 4a^2 + 12a - 16$

$D < 0$ より

$4a^2 + 12a - 16 < 0$

$a^2 + 3a - 4 < 0$

$(a + 4)(a - 1) < 0$

$-4 < a < 1$

(1) の条件 $a < 0$ と (2) の条件 $-4 < a < 1$ を満たす $a$ の範囲は、

$-4 < a < 0$

3. 最終的な答え

$-4 < a < 0$