与えられた3つの分数式の和を計算します。 $\frac{x-2}{2x^2-5x+3} + \frac{3x-1}{2x^2+x-6} + \frac{2x-5}{x^2+x-2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの分数式の和を計算します。

$\frac{x-2}{2x^2-5x+3} + \frac{3x-1}{2x^2+x-6} + \frac{2x-5}{x^2+x-2}$

2. 解き方の手順

まず、各分母を因数分解します。

$2x^2 - 5x + 3 = (2x-3)(x-1)$

$2x^2 + x - 6 = (2x-3)(x+2)$

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

次に、各分数式を通分するために、共通の分母を見つけます。共通の分母は $(2x-3)(x-1)(x+2)$ となります。

各分数式の分子と分母に、共通の分母を得るために必要な式を掛けます。

$\frac{x-2}{(2x-3)(x-1)} = \frac{(x-2)(x+2)}{(2x-3)(x-1)(x+2)}$

$\frac{3x-1}{(2x-3)(x+2)} = \frac{(3x-1)(x-1)}{(2x-3)(x-1)(x+2)}$

$\frac{2x-5}{(x+2)(x-1)} = \frac{(2x-5)(2x-3)}{(2x-3)(x-1)(x+2)}$

分子を展開します。

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

$(3x-1)(x-1) = 3x^2 - 4x + 1$

$(2x-5)(2x-3) = 4x^2 - 16x + 15$

すべての分数式を共通の分母でまとめます。

$\frac{x^2 - 4 + 3x^2 - 4x + 1 + 4x^2 - 16x + 15}{(2x-3)(x-1)(x+2)}$

分子を整理します。

$x^2 - 4 + 3x^2 - 4x + 1 + 4x^2 - 16x + 15 = 8x^2 - 20x + 12$

分子を因数分解します。

$8x^2 - 20x + 12 = 4(2x^2 - 5x + 3) = 4(2x-3)(x-1)$

分数式を簡約化します。

$\frac{4(2x-3)(x-1)}{(2x-3)(x-1)(x+2)} = \frac{4}{x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{x+2}$