与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n + n(n+1)$ および初期条件 $a_1 = 2$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n + n(n+1)$ および初期条件 $a_1 = 2$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を $a_{n+1} - a_n = n(n+1)$ と変形します。この式は、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $n(n+1)$ であることを意味します。したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1) = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + k)$

ここで、$a_1 = 2$ であることと、$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ を用いると、

$a_n = 2 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2}$

$= 2 + \frac{n(n-1)}{6} (2n - 1 + 3)$

$= 2 + \frac{n(n-1)(2n + 2)}{6}$

$= 2 + \frac{2n(n-1)(n+1)}{6}$

$= 2 + \frac{n(n-1)(n+1)}{3}$

$= 2 + \frac{n(n^2 - 1)}{3}$

$= 2 + \frac{n^3 - n}{3}$

$= \frac{n^3 - n + 6}{3}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = \frac{1^3 - 1 + 6}{3} = \frac{6}{3} = 2$ となり、初期条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^3 - n + 6}{3}$