与えられた規則に基づいて構成された群数列について、以下の問いに答えます。 (1) 第20群の最初の項を求めます。 (2) 第$(2k-1)$群の最初の項を$k$の式で表します。 (3) 第$m$群の項の総和を$S_m$とするとき、$S_{m+1} - S_m > 1000$となる最小の自然数$m$を求めます。

1. 問題の内容

与えられた規則に基づいて構成された群数列について、以下の問いに答えます。

(1) 第20群の最初の項を求めます。

(2) 第$(2k-1)$群の最初の項を$k$の式で表します。

(3) 第$m$群の項の総和を$S_m$とするとき、$S_{m+1} - S_m > 1000$となる最小の自然数$m$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 第20群の最初の項を求める。

群数列の規則性から、奇数群は奇数が並び、偶数群は偶数が並ぶことがわかります。

第1群から第19群までの項数を合計し、それに基づいて第20群の最初の項を求めます。

第$n$群には$n$個の項が含まれるので、第1群から第19群までの項数の合計は、

$1 + 2 + 3 + \dots + 19 = \frac{19(1+19)}{2} = \frac{19 \cdot 20}{2} = 190$

となります。

偶数群なので、第20群の最初の項は偶数です。

第1群は1, 第2群は2, 4, 第3群は3, 5, 7, 第4群は6, 8, 10, 12, …

第19群は奇数群なので、第1群、第3群、第5群、…, 第19群の項は奇数です。

第2群、第4群、…, 第18群の項は偶数です。

第18群の最後の項をyとすると、第20群はy+2から始まる20個の偶数です。

奇数群の場合、第$(n-2)$群の最後の項をxとすると、第$n$群には$x+2$から連続する$n$個の奇数が並びます。

偶数群の場合、第$(n-2)$群の最後の項をyとすると、第$n$群には$y+2$から連続する$n$個の偶数が並びます。

したがって、第20群の最初の項は、数列全体の191番目の偶数となります。

数列全体は、1, 2, 4, 3, 5, 7, 6, 8, 10, 12, 9, 11, 13, 15, 17, …

なので、奇数と偶数が交互に現れます。

第1群から第19群までの項数は190なので、第20群の最初の項は191番目の数です。

偶数群は2, 4, 6, 8, ...と続くため、第n群の最初の偶数は$n$となります。したがって、第20群の最初の項は($190+1$)番目の偶数なので、$\frac{190}{2} + 20 = 110$は成り立ちません。

第n群の最初の項は、

nが奇数のとき、$a_n$は奇数

nが偶数のとき、$a_n$は偶数

$a_1=1$

$a_2=2$

$a_3=3$

$a_4=6$

$a_5=9$

$a_6=14$

$a_7=19$

$a_8=26$

$a_9=33$

$a_{10}=42$

$a_{11}=51$

$a_{12}=62$

$a_{13}=73$

$a_{14}=86$

$a_{15}=99$

$a_{16}=114$

$a_{17}=129$

$a_{18}=146$

$a_{19}=163$

$a_{20}=182$

(2) 第$(2k-1)$群の最初の項を求める。

第1群: 1

第3群: 3, 5, 7

第5群: 9, 11, 13, 15, 17

第7群: 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31

最初の項は1, 3, 9, 19, ...

この数列の階差数列は2, 6, 10, ... これは初項2, 公差4の等差数列。

したがって、第$k$項は$1 + \sum_{i=1}^{k-1}(2 + 4(i-1)) = 1 + \sum_{i=1}^{k-1} (4i - 2) = 1 + 4\frac{(k-1)k}{2} - 2(k-1) = 1 + 2k(k-1) - 2(k-1) = 1 + 2k^2 - 2k - 2k + 2 = 2k^2 - 4k + 3$

(3) $S_{m+1} - S_m > 1000$となる最小の自然数$m$を求める。

$S_{m+1} - S_m$は第$(m+1)$群の項の総和を表します。

第$(m+1)$群には$(m+1)$個の項があります。

第$(m+1)$群の最初の項を$a_{m+1}$とすると、$S_{m+1} - S_m = \frac{(m+1)(2a_{m+1} + (m+1-1)d)}{2} = \frac{(m+1)(2a_{m+1} + md)}{2}$

$m$が奇数のとき、$d=2$, $m$が偶数のとき、$d=2$。したがって$d=2$です。

$S_{m+1} - S_m = \frac{(m+1)(2a_{m+1} + 2m)}{2} = (m+1)(a_{m+1} + m)$

$S_{m+1} - S_m > 1000$なので、$(m+1)(a_{m+1} + m) > 1000$

$a_{m+1} \approx 2(\frac{m+1}{2})^2 - 4(\frac{m+1}{2}) + 3$ if m is odd

$a_{m+1} \approx 2(\frac{m+1}{2})n^2$ if m is even

$m=31$: $(31+1)(a_{32} + 31) > 1000$, $32(a_{32} + 31) > 1000$

$a_{32} > \frac{1000}{32} - 31 = 31.25 - 31 = 0.25$ これは明らかに誤りです。

第$(m+1)$群の項の総和は、$S_{m+1} - S_m = (m+1) \cdot \frac{a_{m+1} + a_{m+1} + (m+1-1) \times 2}{2} = (m+1) \cdot (a_{m+1} + m)$

$a_{m+1}$は第$(m+1)$群の最初の項。

この数列の項はほぼ等間隔なので、第$(m+1)$群の最初の項を$a_{m+1}$とすると、$a_{m+1} \approx \frac{m^2}{2}$。

$(m+1)(\frac{m^2}{2} + m) > 1000$

$(m+1)(m^2 + 2m) > 2000$

$(m+1)m(m+2) > 2000$

$m=10$: $11 \cdot 10 \cdot 12 = 1320$

$m=11$: $12 \cdot 11 \cdot 13 = 1716$

$m=12$: $13 \cdot 12 \cdot 14 = 2184$

したがって$m=12$

3. 最終的な答え

(1) $182$

(2) $2k^2 - 4k + 3$

(3) $12$