数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき、すべての自然数$n$について$S_n = \frac{1}{3}(2^n - a_n - 6)$が成り立っている。 (1) $a_1$を求めよ。 (2) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ。 (3) $a_n$を$n$を用いて表せ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき、すべての自然数$n$について$S_n = \frac{1}{3}(2^n - a_n - 6)$が成り立っている。

(1) $a_1$を求めよ。

(2) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ。

(3) $a_n$を$n$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$を求める。

$S_1 = a_1$なので、$S_1 = \frac{1}{3}(2^1 - a_1 - 6)$より、

$a_1 = \frac{1}{3}(2 - a_1 - 6)$

$3a_1 = -a_1 - 4$

$4a_1 = -4$

$a_1 = -1$

(2) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表す。

$S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$であり、

$S_{n+1} = \frac{1}{3}(2^{n+1} - a_{n+1} - 6)$

$S_n = \frac{1}{3}(2^n - a_n - 6)$

よって、

$\frac{1}{3}(2^{n+1} - a_{n+1} - 6) = \frac{1}{3}(2^n - a_n - 6) + a_{n+1}$

$2^{n+1} - a_{n+1} - 6 = 2^n - a_n - 6 + 3a_{n+1}$

$2^{n+1} - 2^n = 4a_{n+1} - a_n$

$2^n(2-1) = 4a_{n+1} - a_n$

$2^n = 4a_{n+1} - a_n$

$4a_{n+1} = a_n + 2^n$

$a_{n+1} = \frac{1}{4}a_n + \frac{1}{4}2^n$

$a_{n+1} = \frac{1}{4}a_n + 2^{n-2}$

(3) $a_n$を$n$を用いて表す。

$a_{n+1} = \frac{1}{4}a_n + 2^{n-2}$を変形する。

$a_{n+1} + A2^{n+1} = \frac{1}{4}(a_n + A2^n)$となる$A$を求める。

$a_{n+1} = \frac{1}{4}a_n + \frac{1}{4}A2^n - A2^{n+1}$

$\frac{1}{4}A2^n - A2^{n+1} = 2^{n-2}$

$\frac{1}{4}A - 2A = \frac{1}{4}$

$A - 8A = 1$

$-7A = 1$

$A = -\frac{1}{7}$

$a_{n+1} - \frac{1}{7}2^{n+1} = \frac{1}{4}(a_n - \frac{1}{7}2^n)$

$b_n = a_n - \frac{1}{7}2^n$とおくと、

$b_{n+1} = \frac{1}{4}b_n$

これは初項$b_1 = a_1 - \frac{1}{7}2^1 = -1 - \frac{2}{7} = -\frac{9}{7}$、公比$\frac{1}{4}$の等比数列である。

$b_n = -\frac{9}{7}(\frac{1}{4})^{n-1}$

$a_n - \frac{1}{7}2^n = -\frac{9}{7}(\frac{1}{4})^{n-1}$

$a_n = \frac{1}{7}2^n -\frac{9}{7}(\frac{1}{4})^{n-1}$

$a_n = \frac{1}{7}2^n - \frac{9}{7}\frac{1}{4^{n-1}}$

$a_n = \frac{1}{7}2^n - \frac{9}{7}\frac{4}{4^n}$

$a_n = \frac{1}{7}2^n - \frac{36}{7}\frac{1}{4^n}$

$a_n = \frac{1}{7}(2^n - 36 \cdot 4^{-n})$

$a_n = \frac{1}{7}(2^n - \frac{36}{4^n})$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = -1$

(2) $a_{n+1} = \frac{1}{4}a_n + 2^{n-2}$

(3) $a_n = \frac{1}{7}(2^n - \frac{36}{4^n})$