数列 $2, 3, 5, 9, 17, \dots$ の一般項 $a_n$ を階差数列を利用して求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $2, 3, 5, 9, 17, \dots$ の一般項 $a_n$ を階差数列を利用して求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。

$b_n = a_{n+1} - a_n$

$b_1 = a_2 - a_1 = 3 - 2 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 5 - 3 = 2$

$b_3 = a_4 - a_3 = 9 - 5 = 4$

$b_4 = a_5 - a_4 = 17 - 9 = 8$

よって、階差数列は $1, 2, 4, 8, \dots$ となります。これは初項1、公比2の等比数列であるため、$b_n = 2^{n-1}$ と表されます。

数列 $a_n$ の一般項は、 $n \ge 2$ のとき

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

等比数列の和の公式を用いると、

$a_n = 2 + \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2 - 1}$

$a_n = 2 + 2^{n-1} - 1$

$a_n = 2^{n-1} + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 1 = 2^0 + 1 = 1 + 1 = 2$ となり、この式は $n=1$ の場合も成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} + 1$