与えられた式 $(a+b)^2 (a-b)^2$ を展開して、できるだけ簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)^2 (a-b)^2$ を展開して、できるだけ簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、 $(a+b)^2$ と $(a-b)^2$ をそれぞれ展開します。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

次に、これらの結果を元の式に代入します。

$(a+b)^2 (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2)$

ここで、式を整理するために、$A = a^2 + b^2$ と置くと、式は次のようになります。

$(a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2) = (A + 2ab)(A - 2ab)$

これは $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ の形であるため、以下のように展開できます。

$(A + 2ab)(A - 2ab) = A^2 - (2ab)^2$

ここで、$A = a^2 + b^2$ を代入します。

$A^2 - (2ab)^2 = (a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2$

$(a^2 + b^2)^2$ を展開します。

$(a^2 + b^2)^2 = (a^2)^2 + 2(a^2)(b^2) + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$

$(2ab)^2$ を展開します。

$(2ab)^2 = 4a^2b^2$

したがって、

$(a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2$

最後に、同類項をまとめます。

$a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

この式は $(a^2 - b^2)^2$ と書き換えることができます。

$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = (a^2 - b^2)^2$

さらに、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ なので、

$(a^2 - b^2)^2 = ((a+b)(a-b))^2 = (a+b)^2 (a-b)^2$

元の式は $(a+b)^2 (a-b)^2$ であり、結果は $(a^2 - b^2)^2$ です。

$(a^2 - b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 - b^2) = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

3. 最終的な答え

$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$