$(\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$ を示す問題です。ここで $(\cos x)^{(n)}$ は $\cos x$ の $n$ 階微分を表します。

1. 問題の内容

$(\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$ を示す問題です。ここで $(\cos x)^{(n)}$ は $\cos x$ の $n$ 階微分を表します。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。

(i) $n=1$ のとき:

$\cos x$ の1階微分は

$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x = \cos(x + \frac{\pi}{2})$

よって、$n=1$ のとき成立します。

(ii) $n=k$ のとき成立すると仮定します。すなわち、

$(\cos x)^{(k)} = \cos(x + \frac{k\pi}{2})$

(iii) $n=k+1$ のときを考えます。

$(\cos x)^{(k+1)} = \frac{d}{dx} (\cos x)^{(k)} = \frac{d}{dx} \cos(x + \frac{k\pi}{2})$

$\frac{d}{dx} \cos(x + \frac{k\pi}{2}) = - \sin(x + \frac{k\pi}{2}) = \cos(x + \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \cos(x + \frac{(k+1)\pi}{2})$

よって、$n=k+1$ のときも成立します。

(i), (ii), (iii) より、すべての自然数 $n$ に対して $(\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$ が成立します。

3. 最終的な答え

$(\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$