数列 $\{c_n\}$ が、$c_1 = 2^{\frac{1}{4}}$, $c_{n+1} = \frac{2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}}{c_n}$ $(n=1,2,3,\dots)$ で定義されているとき、 (i) 数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。 (ii) $m$ を自然数とするとき、$\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{c_n\}$ が、$c_1 = 2^{\frac{1}{4}}$, $c_{n+1} = \frac{2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}}{c_n}$ $(n=1,2,3,\dots)$ で定義されているとき、

(i) 数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。

(ii) $m$ を自然数とするとき、$\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 数列の一般項を求める。

まず、$c_{n+1} = \frac{2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}}{c_n}$ を変形して、$c_{n+1}c_n = 2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}$ を得る。

次に、$c_n c_{n-1} = 2^{\frac{1}{8}(n-1) + \frac{1}{4}}$ を考える。

$c_{n+1}c_n$ を $c_n c_{n-1}$ で割ると、

$\frac{c_{n+1}}{c_{n-1}} = \frac{2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{8}(n-1) + \frac{1}{4}}} = 2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}n + \frac{1}{8} - \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}}$

よって、$c_{n+1} = 2^{\frac{1}{8}} c_{n-1}$ が得られる。

$n$ が奇数のとき、$c_1 = 2^{\frac{1}{4}}$, $c_3 = 2^{\frac{1}{8}}c_1 = 2^{\frac{1}{8}} 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{8}}$, $c_5 = 2^{\frac{1}{8}} c_3 = 2^{\frac{1}{8}} 2^{\frac{3}{8}} = 2^{\frac{4}{8}} = 2^{\frac{1}{2}}$

$c_{2k-1} = 2^{\frac{k}{8}}$ であると予想できる。

$c_{2k+1} = 2^{\frac{1}{8}} c_{2k-1} = 2^{\frac{1}{8}} 2^{\frac{k}{8}} = 2^{\frac{k+1}{8}}$ となり、帰納法により、$c_{2k-1} = 2^{\frac{k}{8}}$ が正しい。

したがって、$c_{2n-1} = 2^{\frac{n}{8}}$

$n$ が偶数のとき、$c_2 = \frac{2^{\frac{1}{8} \cdot 1 + \frac{1}{4}}}{c_1} = \frac{2^{\frac{3}{8}}}{2^{\frac{1}{4}}} = 2^{\frac{3}{8} - \frac{2}{8}} = 2^{\frac{1}{8}}$, $c_4 = 2^{\frac{1}{8}} c_2 = 2^{\frac{1}{8}} 2^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{2}{8}} = 2^{\frac{1}{4}}$

$c_{2k} = 2^{\frac{k}{8}}$ であると予想できる。

$c_{2k+2} = 2^{\frac{1}{8}} c_{2k} = 2^{\frac{1}{8}} 2^{\frac{k}{8}} = 2^{\frac{k+1}{8}}$ となり、帰納法により、$c_{2k} = 2^{\frac{k}{8}}$ が正しい。

したがって、$c_{2n} = 2^{\frac{n}{8}}$

よって、$c_n = 2^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor /8}$ である。

$c_n = 2^{\frac{\lfloor(n+1)/2\rfloor}{8}}$

(ii) $\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k$ を求める。

$\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k = \sum_{k=1}^{m} (c_{2k} (-1)^{2k} + c_{2k-1} (-1)^{2k-1})$

$= \sum_{k=1}^{m} (c_{2k} - c_{2k-1})$

$= \sum_{k=1}^{m} (2^{\frac{k}{8}} - 2^{\frac{k}{8}}) = \sum_{k=1}^{m} 0 = 0$

3. 最終的な答え

(i) $c_n = 2^{\frac{\lfloor(n+1)/2\rfloor}{8}}$

(ii) $\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k = 0$