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1から100までの自然数の中で、100と互いに素であるものの個数と、それらの数の2乗の和を求めよ。ここで、自然数$a$と$b$が互いに素であるとは、$a$と$b$の最大公約数が1であることをいう。

数論互いに素素因数分解包除原理整数の性質数列
2025/5/22

1. 問題の内容

1から100までの自然数の中で、100と互いに素であるものの個数と、それらの数の2乗の和を求めよ。ここで、自然数aaとbbが互いに素であるとは、aaとbbの最大公約数が1であることをいう。

2. 解き方の手順

まず、100と互いに素な自然数の個数を求める。100を素因数分解すると、
100=22×52100 = 2^2 \times 5^2
となる。したがって、100と互いに素な数は、2の倍数でも5の倍数でもない数である。
1から100までの自然数の中に、2の倍数は100/2=50100/2 = 50個、5の倍数は100/5=20100/5 = 20個ある。また、2の倍数かつ5の倍数、つまり10の倍数は100/10=10100/10 = 10個ある。
したがって、2の倍数または5の倍数であるものの個数は、包除原理より50+20−10=6050 + 20 - 10 = 60個である。
ゆえに、1から100までの自然数の中で、100と互いに素な数の個数は、100−60=40100 - 60 = 40個である。
次に、100と互いに素な自然数の2乗の和を求める。1から100までの自然数nnのうち、100と互いに素なものをai(i=1,2,...,40)a_i (i = 1, 2, ..., 40)と表す。
S=∑i=140ai2S = \sum_{i=1}^{40} a_i^2 を求める。
まず、1から100までの自然数の2乗の和を求める公式は、
∑n=1Nn2=N(N+1)(2N+1)6\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}
であるから、
∑n=1100n2=100×101×2016=20301006=338350\sum_{n=1}^{100} n^2 = \frac{100 \times 101 \times 201}{6} = \frac{2030100}{6} = 338350
である。
次に、2の倍数の2乗の和、5の倍数の2乗の和、10の倍数の2乗の和を求める。
∑n=150(2n)2=4∑n=150n2=4×50×51×1016=4×2575506=4×42925=171700\sum_{n=1}^{50} (2n)^2 = 4 \sum_{n=1}^{50} n^2 = 4 \times \frac{50 \times 51 \times 101}{6} = 4 \times \frac{257550}{6} = 4 \times 42925 = 171700
∑n=120(5n)2=25∑n=120n2=25×20×21×416=25×172206=25×2870=71750\sum_{n=1}^{20} (5n)^2 = 25 \sum_{n=1}^{20} n^2 = 25 \times \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 25 \times \frac{17220}{6} = 25 \times 2870 = 71750
∑n=110(10n)2=100∑n=110n2=100×10×11×216=100×23106=100×385=38500\sum_{n=1}^{10} (10n)^2 = 100 \sum_{n=1}^{10} n^2 = 100 \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 100 \times \frac{2310}{6} = 100 \times 385 = 38500
2の倍数の2乗の和と5の倍数の2乗の和を足し、10の倍数の2乗の和を引くと、
171700+71750−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=204950−38500=166450171700 + 71750 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 166450
したがって、S=338350−166450=171900S = 338350 - 166450 = 171900.

3. 最終的な答え

100と互いに素な自然数の個数は40個。
それらの数の2乗の和は171900。

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