1から100までの自然数の中で、100と互いに素であるものの個数と、それらの数の2乗の和を求めよ。ここで、自然数$a$と$b$が互いに素であるとは、$a$と$b$の最大公約数が1であることをいう。

1. 問題の内容

1から100までの自然数の中で、100と互いに素であるものの個数と、それらの数の2乗の和を求めよ。ここで、自然数$a$と$b$が互いに素であるとは、$a$と$b$の最大公約数が1であることをいう。

2. 解き方の手順

まず、100と互いに素な自然数の個数を求める。100を素因数分解すると、

$100 = 2^2 \times 5^2$

となる。したがって、100と互いに素な数は、2の倍数でも5の倍数でもない数である。

1から100までの自然数の中に、2の倍数は$100/2 = 50$個、5の倍数は$100/5 = 20$個ある。また、2の倍数かつ5の倍数、つまり10の倍数は$100/10 = 10$個ある。

したがって、2の倍数または5の倍数であるものの個数は、包除原理より$50 + 20 - 10 = 60$個である。

ゆえに、1から100までの自然数の中で、100と互いに素な数の個数は、$100 - 60 = 40$個である。

次に、100と互いに素な自然数の2乗の和を求める。1から100までの自然数$n$のうち、100と互いに素なものを$a_i (i = 1, 2, ..., 40)$と表す。

$S = \sum_{i=1}^{40} a_i^2$ を求める。

まず、1から100までの自然数の2乗の和を求める公式は、

$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

であるから、

$\sum_{n=1}^{100} n^2 = \frac{100 \times 101 \times 201}{6} = \frac{2030100}{6} = 338350$

である。

次に、2の倍数の2乗の和、5の倍数の2乗の和、10の倍数の2乗の和を求める。

$\sum_{n=1}^{50} (2n)^2 = 4 \sum_{n=1}^{50} n^2 = 4 \times \frac{50 \times 51 \times 101}{6} = 4 \times \frac{257550}{6} = 4 \times 42925 = 171700$

$\sum_{n=1}^{20} (5n)^2 = 25 \sum_{n=1}^{20} n^2 = 25 \times \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 25 \times \frac{17220}{6} = 25 \times 2870 = 71750$

$\sum_{n=1}^{10} (10n)^2 = 100 \sum_{n=1}^{10} n^2 = 100 \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 100 \times \frac{2310}{6} = 100 \times 385 = 38500$

2の倍数の2乗の和と5の倍数の2乗の和を足し、10の倍数の2乗の和を引くと、

$171700 + 71750 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 204950 - 38500 = 166450$

したがって、$S = 338350 - 166450 = 171900$.

3. 最終的な答え

100と互いに素な自然数の個数は40個。

それらの数の2乗の和は171900。