与えられた式を因数分解する問題です。与えられた式は、$2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。与えられた式は、$2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y^2 - 5y - 2)$

次に、$3y^2 - 5y - 2$ を因数分解します。

$3y^2 - 5y - 2 = (3y + 1)(y - 2)$

元の式は、

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y + 1)(y - 2)$

となります。

次に、与式が $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解できると仮定して、

$(2x + y + a)(x + 3y + b)$

を展開します。

$(2x + y + a)(x + 3y + b) = 2x^2 + 6xy + 2bx + xy + 3y^2 + by + ax + 3ay + ab$

$= 2x^2 + 7xy + 3y^2 + (2b + a)x + (b + 3a)y + ab$

係数を比較して、以下の連立方程式を得ます。

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y^2 - 5y - 2)$ と

$2x^2 + 7xy + 3y^2 + (2b + a)x + (b + 3a)y + ab$

は異なる式なので、別の方法を検討します。

$2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ の因数分解を試みます。

$2x^2 + 5xy + 3y^2 = (2x + 3y)(x + y)$ なので、

$(2x + 3y + a)(x + y + b)$ の形に因数分解できると仮定します。

$(2x + 3y + a)(x + y + b) = 2x^2 + 2xy + 2bx + 3xy + 3y^2 + 3by + ax + ay + ab$

$= 2x^2 + 5xy + 3y^2 + (2b + a)x + (3b + a)y + ab$

係数を比較して、以下の連立方程式を得ます。

$2b + a = -3$

$3b + a = -5$

$ab = -2$

2つの式を引き算すると、$-b = 2$ より、$b = -2$。

$2(-2) + a = -3$ より、$a = 1$。

$ab = (1)(-2) = -2$ となり、矛盾はありません。

したがって、因数分解の結果は $(2x + 3y + 1)(x + y - 2)$ です。

3. 最終的な答え

$(2x + 3y + 1)(x + y - 2)$