数列 $\{c_n\}$ が、$c_1 = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ と漸化式 $c_{n+1} = \frac{2\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}{c_n}$ で定義されている。 (i) 数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。 (ii) $m$ を自然数とするとき、$\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{c_n\}$ が、$c_1 = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ と漸化式 $c_{n+1} = \frac{2\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}{c_n}$ で定義されている。

(i) 数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。

(ii) $m$ を自然数とするとき、$\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 一般項を求める。

まず、漸化式を変形する。

$c_{n+1} = \frac{\frac{17}{8}n + \frac{1}{4}}{c_n}$

$c_{n+1}c_n = \frac{17}{8}n + \frac{1}{4} = \frac{17n+2}{8}$

$c_1 = \frac{9}{4}$

$c_2c_1 = \frac{17+2}{8} = \frac{19}{8}$

$c_2 = \frac{19}{8} / \frac{9}{4} = \frac{19}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{19}{18}$

$c_3c_2 = \frac{17\times 2 + 2}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$

$c_3 = \frac{9}{2} / \frac{19}{18} = \frac{9}{2} \times \frac{18}{19} = \frac{81}{19}$

$c_4c_3 = \frac{17\times 3 + 2}{8} = \frac{53}{8}$

$c_4 = \frac{53}{8} / \frac{81}{19} = \frac{53}{8} \times \frac{19}{81} = \frac{1007}{648}$

$c_{n+2}c_{n+1} = \frac{17(n+1)+2}{8} = \frac{17n+19}{8}$

$c_{n+2} = \frac{c_{n+2}c_{n+1}}{c_{n+1}} = \frac{\frac{17n+19}{8}}{\frac{\frac{17n+2}{8}}{c_n}} = \frac{17n+19}{17n+2}c_n$

ここで、$c_n = an+b$ と仮定して、$c_{n+1} = a(n+1) + b$

$(an+a+b)(an+b) = \frac{17n+2}{8}$

これは成り立たない。

$c_1=\frac{9}{4}, c_2=\frac{19}{18}, c_3=\frac{81}{19}, c_4=\frac{1007}{648}$

もう一度漸化式を確認

$c_{n+1} = \frac{\frac{17}{8}n + \frac{1}{4}}{c_n} = \frac{17n+2}{8c_n}$

$c_{n+1} = \frac{17n+2}{8c_n}$

$8c_{n+1}c_n = 17n+2$

試しに $d_n = 8c_n c_{n-1}$ とすると、$d_n = 17(n-1) + 2 = 17n - 15$

$d_{n+1} - d_n = 17(n+1)-15-(17n-15) = 17$

$c_n = \frac{\alpha n + \beta}{\gamma n + \delta}$ と仮定

$c_1=\frac{9}{4}, c_{n+1} = \frac{17n+2}{8c_n}$ より

$c_2 = \frac{17(1)+2}{8c_1} = \frac{19}{8\times\frac{9}{4}} = \frac{19}{18}$

$c_3 = \frac{17(2)+2}{8c_2} = \frac{36}{8\times\frac{19}{18}} = \frac{36\times 18}{8\times 19} = \frac{9\times 9}{19} = \frac{81}{19}$

$c_4 = \frac{17(3)+2}{8c_3} = \frac{53}{8\times\frac{81}{19}} = \frac{53\times 19}{8\times 81} = \frac{1007}{648}$

$c_n c_{n+1} = \frac{17n+2}{8}$

$c_n = \frac{an+b}{cn+d}$ とおく。

$c_1=\frac{a+b}{c+d} = \frac{9}{4} \implies 4a+4b = 9c+9d$

$c_{n+1} = (-1)^{n+1} \frac{a(n+1)+b}{c(n+1)+d}$

(ii) $\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k$ を求める。

$c_n = \frac{17n+2}{8c_{n+1}}$ より

$c_n = \frac{3n+6}{4}$

$c_1 = \frac{3+6}{4} = \frac{9}{4}$

$c_2 = \frac{3(2)+6}{4} = \frac{12}{4} = 3 \ne \frac{19}{18}$

$c_n$ が上手く求まらない。

3. 最終的な答え

(i)

$c_1 = \frac{9}{4}, c_{n+1} = \frac{17n+2}{8 c_n}$

(ii)

$\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k$

これ以上計算できません。