点A(1, 3)から円 $x^2 + y^2 = 5$に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

点A(1, 3)から円 $x^2 + y^2 = 5$に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(x_1, y_1)$とおく。

このとき、接線の方程式は$x_1x + y_1y = 5$と表される。

この接線が点A(1, 3)を通るので、$x_1 + 3y_1 = 5$が成り立つ。

$x_1 + 3y_1 = 5$より、$x_1 = 5 - 3y_1$となる。

点$(x_1, y_1)$は円$x^2 + y^2 = 5$上にあるので、$x_1^2 + y_1^2 = 5$が成り立つ。

ここに$x_1 = 5 - 3y_1$を代入して、

$(5 - 3y_1)^2 + y_1^2 = 5$

$25 - 30y_1 + 9y_1^2 + y_1^2 = 5$

$10y_1^2 - 30y_1 + 20 = 0$

$y_1^2 - 3y_1 + 2 = 0$

$(y_1 - 1)(y_1 - 2) = 0$

よって、$y_1 = 1, 2$

$y_1 = 1$のとき、$x_1 = 5 - 3(1) = 2$

$y_1 = 2$のとき、$x_1 = 5 - 3(2) = -1$

したがって、接点は(2, 1)と(-1, 2)である。

接点が(2, 1)のとき、接線の方程式は$2x + y = 5$

接点が(-1, 2)のとき、接線の方程式は$-x + 2y = 5$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $2x + y = 5$ と $-x + 2y = 5$

接点の座標は (2, 1) と (-1, 2)