$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、以下の各 $\tan \theta$ の値に対して、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。 (1) $\tan \theta = -\sqrt{2}$ (2) $\tan \theta = \frac{1}{3}$

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、以下の各 $\tan \theta$ の値に対して、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。

(1) $\tan \theta = -\sqrt{2}$

(2) $\tan \theta = \frac{1}{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\tan \theta = -\sqrt{2}$ の場合：

$\tan \theta$ が負なので、$\theta$ は第2象限の角です。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ という関係を使います。

$1 + (-\sqrt{2})^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + 2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$3 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\theta$ は第2象限の角なので、$\cos \theta < 0$ です。

よって、

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = (-\sqrt{2})(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(2) $\tan \theta = \frac{1}{3}$ の場合：

$\tan \theta$ が正なので、$\theta$ は第1象限の角です。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ という関係を使います。

$1 + (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{10}{9} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{10}$

$\cos \theta = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\theta$ は第1象限の角なので、$\cos \theta > 0$ です。

よって、

$\cos \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\tan \theta = -\sqrt{2}$ のとき：

$\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\tan \theta = \frac{1}{3}$ のとき：

$\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\cos \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$