数列 $\{c_n\}$ が $c_1 = 2^{\frac{1}{4}}$ および漸化式 $c_{n+1} = \frac{2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}}{c_n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で定義されているとき、以下の問いに答えます。 (i) 数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めます。 (ii) $m$ を自然数とするとき、$\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{c_n\}$ が $c_1 = 2^{\frac{1}{4}}$ および漸化式 $c_{n+1} = \frac{2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}}{c_n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で定義されているとき、以下の問いに答えます。

(i) 数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めます。

(ii) $m$ を自然数とするとき、$\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k$ を求めます。

2. 解き方の手順

(i) 数列 $\{c_n\}$ の一般項を求める。

まず、与えられた漸化式を $c_{n+1}c_n = 2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}$ と変形します。

この式の $n$ を $n-1$ に置き換えると $c_n c_{n-1} = 2^{\frac{1}{8}(n-1) + \frac{1}{4}}$ となります。 $(n \ge 2)$

これらの式を用いて $c_n$ を求めます。

$\frac{c_{n+1}c_n}{c_n c_{n-1}} = \frac{2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{8}(n-1) + \frac{1}{4}}}$

$\frac{c_{n+1}}{c_{n-1}} = 2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4} - (\frac{1}{8}(n-1) + \frac{1}{4})} = 2^{\frac{1}{8}n - \frac{1}{8}n + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}}$

$c_{n+1} = 2^{\frac{1}{8}} c_{n-1}$ $(n \ge 2)$

数列 $\{c_{2n-1}\}$ と $\{c_{2n}\}$ はそれぞれ等比数列をなします。

$c_1 = 2^{\frac{1}{4}}$

$c_2 = \frac{2^{\frac{1}{8} + \frac{1}{4}}}{c_1} = \frac{2^{\frac{3}{8}}}{2^{\frac{1}{4}}} = 2^{\frac{3}{8} - \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}}$

$\{c_{2n-1}\}$ について

$c_{2n-1} = c_1 \cdot (2^{\frac{1}{8}})^{n-1} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}(n-1)} = 2^{\frac{1}{4} + \frac{1}{8}n - \frac{1}{8}} = 2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{8}}$

$\{c_{2n}\}$ について

$c_{2n} = c_2 \cdot (2^{\frac{1}{8}})^{n-1} = 2^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{8}(n-1)} = 2^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}n - \frac{1}{8}} = 2^{\frac{1}{8}n}$

したがって、

$c_n = \begin{cases} 2^{\frac{1}{8}(n+1)} & (n \text{ は奇数}) \\ 2^{\frac{1}{8}n} & (n \text{ は偶数}) \end{cases}$

(ii) $\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k$ を求める。

$\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k = \sum_{k=1}^m (-1)^{2k-1} c_{2k-1} + \sum_{k=1}^m (-1)^{2k} c_{2k} = \sum_{k=1}^m (-1) c_{2k-1} + \sum_{k=1}^m c_{2k}$

$= \sum_{k=1}^m (-1) 2^{\frac{1}{8}(2k-1+1)} + \sum_{k=1}^m 2^{\frac{1}{8}(2k)} = \sum_{k=1}^m (-1) 2^{\frac{k}{4}} + \sum_{k=1}^m 2^{\frac{k}{4}} = \sum_{k=1}^m (2^{\frac{k}{4}} - 2^{\frac{k}{4}}) = 0$

3. 最終的な答え

(i) $c_n = \begin{cases} 2^{\frac{1}{8}(n+1)} & (n \text{ は奇数}) \\ 2^{\frac{1}{8}n} & (n \text{ は偶数}) \end{cases}$

(ii) $\sum_{k=1}^{2m} (-1)^k c_k = 0$