関数 $f(x) = |x|\cos{x}$ が与えられたとき、極限 $\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ と $\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ を求め、関数 $f(x) = |x|\cos{x}$ が $x=0$ で微分可能かどうかを判断する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x|\cos{x}$ が与えられたとき、極限 $\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ と $\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ を求め、関数 $f(x) = |x|\cos{x}$ が $x=0$ で微分可能かどうかを判断する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = |0|\cos{0} = 0 \cdot 1 = 0$

次に、$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ を計算します。

$\lim_{h \to +0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|h|\cos{h} - 0}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|h|\cos{h}}{h}$

$h > 0$ のとき、$|h| = h$ なので、

$\lim_{h \to +0} \frac{h\cos{h}}{h} = \lim_{h \to +0} \cos{h} = \cos{0} = 1$

次に、$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ を計算します。

$\lim_{h \to -0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{|h|\cos{h} - 0}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{|h|\cos{h}}{h}$

$h < 0$ のとき、$|h| = -h$ なので、

$\lim_{h \to -0} \frac{-h\cos{h}}{h} = \lim_{h \to -0} -\cos{h} = -\cos{0} = -1$

右側極限と左側極限が異なるので、$f(x)$ は $x=0$ で微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 1$

$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = -1$

したがって、$f(x) = |x|\cos{x}$ は $x=0$ で微分可能ではない。