"equations"という単語のすべての文字を使って順列を作るとき、以下の問いに答える。 (1) 少なくとも一端に子音の文字がくるものは何通りあるか。 (2) eとaの間に文字が2つあるものは何通りあるか。

1. 問題の内容

"equations"という単語のすべての文字を使って順列を作るとき、以下の問いに答える。

(1) 少なくとも一端に子音の文字がくるものは何通りあるか。

(2) eとaの間に文字が2つあるものは何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、"equations"の文字を数える。"equations"は9文字の単語で、母音はe, u, a, i, oの5つ、子音はq, t, n, sの4つである。

全体の場合の数は、9文字を並べる順列なので、9!通りである。

9! = 362880

少なくとも一端に子音がくる場合の数を求めるには、両端に母音がくる場合の数を全体の場合の数から引けばよい。

両端に母音がくる場合の数は、まず両端に母音を並べる。5つの母音から2つを選んで並べる方法は、5P2 = 5 * 4 = 20通りである。

残りの7文字を並べる方法は、7! = 5040通りである。

よって、両端に母音がくる場合の数は、20 * 7! = 20 * 5040 = 100800通りである。

少なくとも一端に子音がくる場合の数は、全体の場合の数から両端に母音がくる場合の数を引くことで求められる。

362880 - 100800 = 262080

(2)

eとaの間に文字が2つある場合を考える。"equations"の文字数は9なので、e _ _ aまたはa _ _ eの形を考える。

eとaの位置の組み合わせを考える。

e _ _ aまたはa _ _ eは4文字のブロックとして考えられる。

このブロックの位置は、先頭から6通り考えられる。例えば、e _ _ a _ _ _ _ _、_ e _ _ a _ _ _ _、_ _ e _ _ a _ _ _、_ _ _ e _ _ a _ _、_ _ _ _ e _ _ a _、_ _ _ _ _ e _ _ aとなる。a _ _ eの場合も同様に6通り。つまり、eとaの位置関係は 6 * 2 = 12 通り。

eとaの間の2文字は、残りの7文字から2文字を選んで並べるので、7P2 = 7 * 6 = 42通り。

eとaを含む4文字のブロックと残りの5文字を並べる方法は、6!通り。

したがって、eとaの間に文字が2つある場合の数は、12 * 42 * 5! = 12 * 42 * 120 = 60480通りである。

3. 最終的な答え

(1) 少なくとも一端に子音の文字がくるものは 262080 通り。

(2) eとaの間に文字が2つあるものは 60480 通り。