与えられた式を展開した際に、指定された項の係数を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。 1. $(2x-3y)^7$ の展開式における $x^5y^2$ の係数を求める。 2. $(2x^3-3x)^5$ の展開式における $x^9$ の係数を求める。

1. 問題の内容

与えられた式を展開した際に、指定された項の係数を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。

1. $(2x-3y)^7$ の展開式における $x^5y^2$ の係数を求める。

2. $(2x^3-3x)^5$ の展開式における $x^9$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

1. $(2x-3y)^7$ の展開式における $x^5y^2$ の係数について。

二項定理より、$(2x-3y)^7$ の一般項は

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{}_7C_k (2x)^{7-k} (-3y)^k = {}_7C_k 2^{7-k} (-3)^k x^{7-k} y^k

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$x^5y^2$ の項を探すので、$7-k=5$ かつ $k=2$ となる $k$ を探します。これは $k=2$ で満たされます。

よって、$x^5y^2$ の係数は、

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{}_7C_2 \cdot 2^{7-2} \cdot (-3)^2 = {}_7C_2 \cdot 2^5 \cdot 9 = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \cdot 32 \cdot 9 = 21 \cdot 32 \cdot 9 = 6048

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2. $(2x^3-3x)^5$ の展開式における $x^9$ の係数について。

二項定理より、$(2x^3-3x)^5$ の一般項は

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{}_5C_k (2x^3)^{5-k} (-3x)^k = {}_5C_k 2^{5-k} (-3)^k x^{3(5-k)} x^k = {}_5C_k 2^{5-k} (-3)^k x^{15-3k+k} = {}_5C_k 2^{5-k} (-3)^k x^{15-2k}

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$x^9$ の項を探すので、$15-2k=9$ となる $k$ を探します。

$15-2k=9$ より $2k=6$ となり、$k=3$ を得ます。

よって、$x^9$ の係数は、

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{}_5C_3 \cdot 2^{5-3} \cdot (-3)^3 = {}_5C_3 \cdot 2^2 \cdot (-27) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 4 \cdot (-27) = 10 \cdot 4 \cdot (-27) = -1080

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3. 最終的な答え

1. $(2x-3y)^7$ の展開式における $x^5y^2$ の係数は 6048

2. $(2x^3-3x)^5$ の展開式における $x^9$ の係数は -1080