必要条件・十分条件に関する3つの命題について、空欄に当てはまるものを選択肢から選びます。 (1) $x = y$であることは、$x^2 = y^2$であるためのア。 (2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるためのイ。 (3) $m$と$n$がともに奇数であることは、$3mn$が奇数であるためのウ。 選択肢： 0. 必要十分条件である 1. 必要条件であるが、十分条件ではない

1. 問題の内容

必要条件・十分条件に関する3つの命題について、空欄に当てはまるものを選択肢から選びます。

(1) $x = y$であることは、$x^2 = y^2$であるためのア。

(2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるためのイ。

(3) $m$と$n$がともに奇数であることは、$3mn$が奇数であるためのウ。

選択肢：

0. 必要十分条件である

1. 必要条件であるが、十分条件ではない

2. 十分条件であるが、必要条件ではない

3. 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $x = y$であることは、$x^2 = y^2$であるための条件を考えます。

* $x = y \implies x^2 = y^2$は真です。

* $x^2 = y^2 \implies x = y$は偽です。（反例: $x = 1, y = -1$）

したがって、$x = y$は$x^2 = y^2$であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

(2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための条件を考えます。

* $x, y$がともに有理数 $\implies xy$は有理数：これは真です。

* $xy$が有理数 $\implies x, y$がともに有理数：これは偽です。（反例: $x = \sqrt{2}, y = \frac{1}{\sqrt{2}}$, このとき $xy=1$となり有理数だが、x, yは無理数）

したがって、$x,y$がともに有理数は、$xy$が有理数であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

(3) $m$と$n$がともに奇数であることは、$3mn$が奇数であるための条件を考えます。

$m,n$がともに奇数であるとき、$m = 2k+1, n = 2l+1$ ($k,l$は整数)と表せます。

$3mn = 3(2k+1)(2l+1) = 3(4kl + 2k + 2l + 1) = 12kl + 6k + 6l + 3 = 2(6kl+3k+3l+1) + 1$

これは奇数なので、$m, n$がともに奇数 $\implies 3mn$が奇数：これは真です。

次に、$3mn$が奇数 $\implies m, n$がともに奇数：

$3mn$が奇数ということは、$3, m, n$はいずれも奇数である必要があります。もし$m$または$n$のいずれかが偶数である場合、$3mn$は偶数になるので矛盾します。

したがって、$3mn$が奇数ならば、$m$と$n$はともに奇数です。よって、これは真です。

したがって、$m$と$n$がともに奇数であることは、$3mn$が奇数であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：2

ウ：0