定数 $a$ を含む3つの連立不等式（I, II, III）が与えられています。これらのうち、解が $x=2$ となるような $a$ の値が存在するものを選択し、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ を含む3つの連立不等式（I, II, III）が与えられています。これらのうち、解が $x=2$ となるような $a$ の値が存在するものを選択し、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、各連立不等式について、$x=2$ を代入して、$a$ の条件を求めます。

(I) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a \leq 2x+1 \end{cases}$ に $x=2$ を代入すると

$\begin{cases} 6(2)-1 \geq 2+9 \\ 2-a \leq 2(2)+1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 11 \geq 11 \\ 2-a \leq 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \text{常に成り立つ} \\ -a \leq 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \text{常に成り立つ} \\ a \geq -3 \end{cases}$

したがって、$a \geq -3$ であれば、$x=2$ は $x-a \leq 2x+1$ を満たします。

次に、$6x-1 \geq x+9$ を解くと、$5x \geq 10$ より $x \geq 2$です。また、$x-a \leq 2x+1$ を解くと、$-x-1 \leq a$ より、$x \geq 2$のとき、$a \geq -x-1$ なので、$a \geq -3$ であれば、$x=2$が解になりえます。$x$が2より大きいと、$x=3$なら、$a \geq -4$となり、解は$x=2$だけではありません。よって $a = -3$ のとき、$x=2$が解です。

(II) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a \geq 2x+1 \end{cases}$ に $x=2$ を代入すると

$\begin{cases} 6(2)-1 \geq 2+9 \\ 2-a \geq 2(2)+1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 11 \geq 11 \\ 2-a \geq 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \text{常に成り立つ} \\ -a \geq 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \text{常に成り立つ} \\ a \leq -3 \end{cases}$

したがって、$a \leq -3$ であれば、$x=2$ は $x-a \geq 2x+1$ を満たします。

次に、$6x-1 \geq x+9$ を解くと、$5x \geq 10$ より $x \geq 2$です。また、$x-a \geq 2x+1$ を解くと、$-x-1 \geq a$ より、$a \leq -x-1$ なので、$x \geq 2$ のとき、$a \leq -x-1$ より、$a \leq -3$であれば、$x=2$が解になりえます。$x=2$のとき、$a \leq -3$。$x=3$なら、$a \leq -4$となり、解は$x=2$だけではありません。よって$a = -3$のとき、$x=2$が解です。

(III) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a > 2x+1 \end{cases}$ に $x=2$ を代入すると

$\begin{cases} 6(2)-1 \geq 2+9 \\ 2-a > 2(2)+1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 11 \geq 11 \\ 2-a > 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \text{常に成り立つ} \\ -a > 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \text{常に成り立つ} \\ a < -3 \end{cases}$

したがって、$a < -3$ であれば、$x=2$ は $x-a > 2x+1$ を満たします。

$6x-1 \geq x+9$ より、$x \geq 2$。 $x-a > 2x+1$ より、$a < -x-1$。

$x=2$のとき、$a < -3$。

仮に$x=2$が解の場合、$x>2$となる値は解ではありません。

$x-a > 2x+1$を解くと、$a<-x-1$です。

$6x-1 \geq x+9$を解くと、$x \geq 2$。

したがって、 $x>2$ のとき$6x-1 > x+9$となり、これを満たします。

$x$は、$2 \leq x$ を満たす必要があります。

しかし、$x=2$のみが解となるのは、$a<-3$であれば満たされません。

まとめると、

(I) $a = -3$

(II) $a = -3$

(III) $a$ は存在しない

3. 最終的な答え

(I) 解が存在し、$a = -3$

(II) 解が存在し、$a = -3$

(III) 解が存在しない