この問題は、指数関数に関する複数の小問で構成されています。具体的には、以下の3つの問題が含まれています。 * 相加平均と相乗平均の大小関係を利用して、ある関数の最小値を求める問題（2問）。 * 指数を含む式の値を求める問題（2問）。 * 指数関数を含む方程式を解く問題（2問）。

1. 問題の内容

この問題は、指数関数に関する複数の小問で構成されています。具体的には、以下の3つの問題が含まれています。

* 相加平均と相乗平均の大小関係を利用して、ある関数の最小値を求める問題（2問）。

* 指数を含む式の値を求める問題（2問）。

* 指数関数を含む方程式を解く問題（2問）。

2. 解き方の手順

まず、問題30-1の(1)を解きます。$x > 0$ のとき、$x + \frac{1}{x}$ の最小値を求めます。相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$

$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq 1$

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

等号成立は $x = \frac{1}{x}$ のとき、つまり $x^2 = 1$ のとき。$x>0$なので、$x=1$。よって、最小値は2であり、そのときのxの値は1です。

次に、問題30-1の(2)を解きます。実数 $x$ に対し $3^x + 3^{-x}$ の最小値を求めます。相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{3^x + 3^{-x}}{2} \geq \sqrt{3^x \cdot 3^{-x}}$

$\frac{3^x + 3^{-x}}{2} \geq \sqrt{1}$

$3^x + 3^{-x} \geq 2$

等号成立は $3^x = 3^{-x}$ のとき、つまり $3^{2x} = 1$ のとき。$2x = 0$ より、$x = 0$。よって、最小値は2であり、そのときのxの値は0です。

次に、問題30-3の(1)を解きます。方程式 $2^x = 16$ を解きます。16は $2^4$ と表せるので、$2^x = 2^4$。したがって、$x = 4$。

次に、問題30-3の(2)を解きます。方程式 $4^x - 10 \cdot 2^x + 24 = 0$ を解きます。$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ なので、$2^x = t$ とおくと、$t^2 - 10t + 24 = 0$。因数分解すると、$(t-4)(t-6) = 0$。したがって、$t = 4$ または $t = 6$。

$t = 4$ のとき、$2^x = 4 = 2^2$ より、$x = 2$。

$t = 6$ のとき、$2^x = 6$ より、$x = \log_2{6}$。

3. 最終的な答え

問題30-1：

(1) 最小値：2, そのときのxの値：1

(2) 最小値：2, そのときのxの値：0

問題30-3：

(1) $x = 4$

(2) $x = 2, \log_2{6}$