$a^x = 3$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $a^{3x} - 2a^x$ (2) $a^{-2x} + a^{-x}$

1. 問題の内容

$a^x = 3$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $a^{3x} - 2a^x$

(2) $a^{-2x} + a^{-x}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a^{3x}$ を変形します。指数法則より、

$a^{3x} = (a^x)^3$

$a^x = 3$ を代入すると、

$a^{3x} = 3^3 = 27$

したがって、

$a^{3x} - 2a^x = 27 - 2(3) = 27 - 6 = 21$

(2)

指数法則より、

$a^{-2x} = (a^x)^{-2} = \frac{1}{(a^x)^2}$

$a^{-x} = (a^x)^{-1} = \frac{1}{a^x}$

$a^x = 3$ を代入すると、

$a^{-2x} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

$a^{-x} = \frac{1}{3}$

したがって、

$a^{-2x} + a^{-x} = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{3}{9} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

(1) 21

(2) $\frac{4}{9}$