与えられた指数関数を含む方程式を解きます。 (1) $2^x = 16$ (2) $4^x - 10 \cdot 2^x + 24 = 0$

1. 問題の内容

与えられた指数関数を含む方程式を解きます。

(1) $2^x = 16$

(2) $4^x - 10 \cdot 2^x + 24 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $2^x = 16$ を解きます。

$16$ は $2$ の累乗で表せるので、$16 = 2^4$ です。

したがって、$2^x = 2^4$ となります。

指数部分を比較して、$x = 4$ となります。

(2) $4^x - 10 \cdot 2^x + 24 = 0$ を解きます。

$4^x$ は $(2^2)^x = (2^x)^2$ と書き換えることができます。

$2^x = t$ と置換すると、方程式は

$t^2 - 10t + 24 = 0$

となります。

この2次方程式を解きます。因数分解すると

$(t - 4)(t - 6) = 0$

したがって、$t = 4$ または $t = 6$ です。

$t = 2^x$ なので、

$2^x = 4$ または $2^x = 6$ となります。

$2^x = 4$ のとき、$4 = 2^2$ なので、$x = 2$ です。

$2^x = 6$ のとき、$x = \log_2 6$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 4$

(2) $x = 2$ , $x = \log_2 6$