問題13：2次方程式 $2x^2 - 2x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3$ (3) $\alpha - \beta$ 問題14：$(x+1)^{10}$ を $x^2 + x$ で割った余りを求めよ。

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

問題13：2次方程式 $2x^2 - 2x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$

(3) $\alpha - \beta$

問題14：$(x+1)^{10}$ を $x^2 + x$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

問題13：

解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{-2}{2} = 1$$

$$\alpha \beta = \frac{1}{2}$$

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 1^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) = 1(1^2 - 3 \cdot \frac{1}{2}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

(3) $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 1^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 2 = -1$

$\alpha - \beta = \pm \sqrt{-1} = \pm i$

問題14：

$(x+1)^{10}$ を $x^2 + x = x(x+1)$ で割った余りを $ax+b$ とする。

$(x+1)^{10} = (x^2+x)Q(x) + ax+b$ (Q(x)は商)

$x = 0$ を代入すると、

$(0+1)^{10} = (0^2+0)Q(0) + a(0) + b$

$1 = b$

$x = -1$ を代入すると、

$(-1+1)^{10} = ((-1)^2+(-1))Q(-1) + a(-1) + b$

$0 = -a + b$

$a = b = 1$

よって、余りは $x+1$

3. 最終的な答え

問題13：

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 0$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 = -\frac{1}{2}$

(3) $\alpha - \beta = \pm i$

問題14：

余り: $x+1$