$\log_{\frac{1}{2}}5$ と $2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$ の大小関係を比較する問題です。

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{2}}5$ と $2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$ の大小関係を比較する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$ を変形します。

係数を対数の中に入れる公式 $k\log_a x = \log_a x^k$ を使います。

$2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3} = \log_{\frac{1}{2}}(\sqrt{3})^2 = \log_{\frac{1}{2}}3$

次に、$\log_{\frac{1}{2}}5$ と $\log_{\frac{1}{2}}3$ の大小を比較します。

対数の底が $\frac{1}{2}$ であり、$0<\frac{1}{2}<1$ なので、真数が大きいほど対数の値は小さくなります。

すなわち、$5 > 3$ より、$\log_{\frac{1}{2}}5 < \log_{\frac{1}{2}}3$

したがって、$\log_{\frac{1}{2}}5 < \log_{\frac{1}{2}}3 = 2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\log_{\frac{1}{2}}5 < 2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$