まず、f(x)=0 の解 α,β を求める。解の公式より、 x = \frac{m \pm \sqrt{m^2 - 4(\frac{m}{2} - 1)}}{2} = \frac{m \pm \sqrt{m^2 - 2m + 4}}{2}
したがって、
\alpha = \frac{m - \sqrt{m^2 - 2m + 4}}{2}, \quad \beta = \frac{m + \sqrt{m^2 - 2m + 4}}{2}
β−α=2m+m2−2m+4−2m−m2−2m+4=m2−2m+4=(m−1)2+3 次に、f(x)≤0 を満たす整数 x がちょうど2つある条件を考える。 f(x)=(x−α)(x−β)≤0 であるから、α≤x≤β である。 f(x)≤0 を満たす整数 x がちょうど2つあるということは、β−α は小さくなくてはならない。 β−α=(m−1)2+3 であった。 この不等式を満たす整数 x がちょうど二つあるためには、β−α がいくつの範囲にあればよいか考える。 α と β の間にある整数が 2つである条件を考察する。 f(x)≤0を満たす整数が2つであるとき、1≤β−α<3が成り立つはずである。 f(x)≤0を満たす整数が2つである条件は、1≤β−α<3と考える。ここで、β−α=(m−1)2+3 であるから、 1≤(m−1)2+3<3 1≤(m−1)2+3<9 −2≤(m−1)2<6 (m−1)2≥0 なので、 0≤(m−1)2<6 (m−1)2=0,1,4 m−1=0,±1,±2 m=1,0,2,−1,3 しかし、f(x)≤0を満たす整数解がちょうど2つであるためには、 β−α の小数部分で、α,β の近傍の整数が不等式を満たすかどうか吟味する必要がある。 f(x)の整数解が 2つだけという条件より、1<β−α<3ではなく、2≤β−α<3である。 4≤(m−1)2+3<9 1≤(m−1)2<6 (m−1)2=1,4 m−1=±1,±2 m=2,0,3,−1 