不等式 $|x-3| < 2x+1$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $|x-3| < 2x+1$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くには、絶対値の中身の符号で場合分けをする。

(i) $x-3 \geq 0$、すなわち $x \geq 3$ のとき

$|x-3| = x-3$ なので、不等式は

$x-3 < 2x+1$

$-4 < x$

$x > -4$

このとき、$x \geq 3$ という条件があるので、$x > -4$ と $x \geq 3$ の共通範囲は $x \geq 3$ となる。

(ii) $x-3 < 0$、すなわち $x < 3$ のとき

$|x-3| = -(x-3) = -x+3$ なので、不等式は

$-x+3 < 2x+1$

$2 < 3x$

$x > \frac{2}{3}$

このとき、$x < 3$ という条件があるので、$x > \frac{2}{3}$ と $x < 3$ の共通範囲は $\frac{2}{3} < x < 3$ となる。

(i)と(ii)の結果を合わせると、$x \geq 3$ または $\frac{2}{3} < x < 3$ となるので、解は $x > \frac{2}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$x > \frac{2}{3}$