次の絶対値を含む方程式と不等式を解きます。 (1) $|2x - 4| = x + 1$ (2) $|2x - 4| > x + 1$

1. 問題の内容

次の絶対値を含む方程式と不等式を解きます。

(1) $|2x - 4| = x + 1$

(2) $|2x - 4| > x + 1$

2. 解き方の手順

(1) $|2x - 4| = x + 1$ の場合

絶対値の中身が正の場合($2x - 4 \geq 0$ すなわち $x \geq 2$)と負の場合($2x - 4 < 0$ すなわち $x < 2$)に分けて考えます。

(i) $x \geq 2$ のとき、 $2x - 4 = x + 1$ となり、 $x = 5$ となります。これは $x \geq 2$ を満たすので解の一つです。

(ii) $x < 2$ のとき、$-(2x - 4) = x + 1$ となり、$-2x + 4 = x + 1$、 $3x = 3$、 $x = 1$ となります。これは $x < 2$ を満たすので解の一つです。

(2) $|2x - 4| > x + 1$ の場合

(i) $x \geq 2$ のとき、$2x - 4 > x + 1$ となり、$x > 5$ となります。$x \geq 2$ と $x > 5$ の共通範囲は $x > 5$ です。

(ii) $x < 2$ のとき、$-(2x - 4) > x + 1$ となり、$-2x + 4 > x + 1$、$3x < 3$、$x < 1$ となります。$x < 2$ と $x < 1$ の共通範囲は $x < 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, 5$

(2) $x < 1, x > 5$