$\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$6^{30}$ の桁数と、$(\frac{1}{15})^{30}$ を小数で表したときに小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$6^{30}$ の桁数と、$(\frac{1}{15})^{30}$ を小数で表したときに小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $6^{30}$ の桁数を求める。

まず、$6^{30}$ の常用対数を計算します。

$\log_{10} 6^{30} = 30 \log_{10} 6 = 30 \log_{10} (2 \times 3) = 30 (\log_{10} 2 + \log_{10} 3)$

与えられた値 $\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入すると、

$\log_{10} 6^{30} = 30 (0.3010 + 0.4771) = 30 (0.7781) = 23.343$

$6^{30}$ の桁数は、$\log_{10} 6^{30}$ の整数部分に1を足した値です。したがって、$6^{30}$ の桁数は $23 + 1 = 24$ 桁です。

(2) $(\frac{1}{15})^{30}$ を小数で表したときに小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$(\frac{1}{15})^{30}$ の常用対数を計算します。

$\log_{10} (\frac{1}{15})^{30} = 30 \log_{10} (\frac{1}{15}) = 30 (\log_{10} 1 - \log_{10} 15) = 30 (0 - \log_{10} (3 \times 5)) = -30 (\log_{10} 3 + \log_{10} 5)$

ここで、$\log_{10} 5 = \log_{10} (\frac{10}{2}) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

したがって、

$\log_{10} (\frac{1}{15})^{30} = -30 (0.4771 + 0.6990) = -30 (1.1761) = -35.283$

小数第何位に初めて0でない数字が現れるかは、$|\log_{10} (\frac{1}{15})^{30}|$ の整数部分に1を足した値です。したがって、小数第 $35 + 1 = 36$ 位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

$6^{30}$ は 24 桁の数である。

$(\frac{1}{15})^{30}$ を小数で表すと、小数第 36 位にはじめて0でない数字が現れる。