図の①～⑥の6つの部分を色鉛筆を使って塗り分ける方法を考える。ただし、1つの部分は1つの色で塗り、隣り合う部分は異なる色で塗るものとする。 (1) 6色で塗り分ける方法は何通りか。 (2) 5色で塗り分ける方法は何通りか。 (3) 4色で塗り分ける方法は何通りか。 (4) 3色で塗り分ける方法は何通りか。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

図の①～⑥の6つの部分を色鉛筆を使って塗り分ける方法を考える。ただし、1つの部分は1つの色で塗り、隣り合う部分は異なる色で塗るものとする。

(1) 6色で塗り分ける方法は何通りか。

(2) 5色で塗り分ける方法は何通りか。

(3) 4色で塗り分ける方法は何通りか。

(4) 3色で塗り分ける方法は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 6色で塗り分ける場合

6つの部分にそれぞれ異なる色を塗るので、単純に6色の並べ方の総数となります。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

(2) 5色で塗り分ける場合

隣り合う部分で同じ色を使う必要があります。図を見ると、(3)と(4)、(5)と(6)はそれぞれ隣り合っています。

また、(3)と(4)に同じ色を使う場合と、(5)と(6)に同じ色を使う場合で分けて考えます。

(i) (3)と(4)に同じ色を使う場合:

まず、(1)に5色の中から1色を選んで塗ります (5通り)。

次に、(2)に残り4色の中から1色を選んで塗ります (4通り)。

(3)と(4)には残り3色の中から1色を選んで塗ります (3通り)。

(5)には残り2色の中から1色を選んで塗ります (2通り)。

最後に、(6)には残り1色を塗ります (1通り)。

したがって、$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

(ii) (5)と(6)に同じ色を使う場合:

まず、(1)に5色の中から1色を選んで塗ります (5通り)。

次に、(2)に残り4色の中から1色を選んで塗ります (4通り)。

(3)に残り3色の中から1色を選んで塗ります (3通り)。

(4)には残り2色の中から1色を選んで塗ります (2通り)。

(5)と(6)には残り1色を塗ります (1通り)。

したがって、$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

合計で $120 + 120 = 240$ 通り。

(3) 4色で塗り分ける場合

隣り合う部分で同じ色を使う必要があります。

(3)と(4)に同じ色を使う、かつ、(5)と(6)に同じ色を使う場合と、(1)と(2)に同じ色を使う場合に分けて考えます。

(i) (3)と(4)に同じ色を使う、かつ、(5)と(6)に同じ色を使う場合:

まず、(1)に4色の中から1色を選んで塗ります (4通り)。

次に、(2)に残り3色の中から1色を選んで塗ります (3通り)。

(3)と(4)には残り2色の中から1色を選んで塗ります (2通り)。

(5)と(6)には残り1色を塗ります (1通り)。

したがって、$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

(4) 3色で塗り分ける場合

3色では隣り合う部分が違う色で塗ることが不可能。

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 240通り

(3) 24通り

(4) 0通り