以下の連立一次方程式を解く問題です。 $ \begin{cases} 3x_1 + 4x_2 - 6x_3 + 7x_4 + x_5 = 5 \\ x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 5x_4 + 3x_5 = 7 \\ -x_1 - x_2 + 2x_3 - 2x_4 = -1 \end{cases} $

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式を解く問題です。

$ \begin{cases}

3x_1 + 4x_2 - 6x_3 + 7x_4 + x_5 = 5 \\

x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 5x_4 + 3x_5 = 7 \\

-x_1 - x_2 + 2x_3 - 2x_4 = -1

\end{cases} $

2. 解き方の手順

この連立方程式を行列で表現し、掃き出し法を用いて解きます。まず、拡大係数行列を作成します。

$$

\begin{bmatrix}

3 & 4 & -6 & 7 & 1 & 5 \\

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

-1 & -1 & 2 & -2 & 0 & -1

\end{bmatrix}

$$

次に、行基本変形を行います。まず、1行目と2行目を入れ替えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

3 & 4 & -6 & 7 & 1 & 5 \\

-1 & -1 & 2 & -2 & 0 & -1

\end{bmatrix}

$$

次に、2行目から1行目の3倍を引き、3行目に1行目を加えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

0 & -8 & 0 & -8 & -8 & -16 \\

0 & 3 & 0 & 3 & 3 & 6

\end{bmatrix}

$$

次に、2行目を-8で割り、3行目を3で割ります。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2

\end{bmatrix}

$$

最後に、3行目から2行目を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

これで簡約化された行列が得られました。この行列に対応する方程式は次のようになります。

$ \begin{cases}

x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 5x_4 + 3x_5 = 7 \\

x_2 + x_4 + x_5 = 2

\end{cases} $

$x_2$について解くと、$x_2 = 2 - x_4 - x_5$となります。

これを1つ目の式に代入すると、

$x_1 + 4(2 - x_4 - x_5) - 2x_3 + 5x_4 + 3x_5 = 7$

$x_1 + 8 - 4x_4 - 4x_5 - 2x_3 + 5x_4 + 3x_5 = 7$

$x_1 - 2x_3 + x_4 - x_5 = -1$

$x_1 = 2x_3 - x_4 + x_5 - 1$

よって、$x_3$, $x_4$, $x_5$ をパラメータとして表現することができます。

$x_3 = a$, $x_4 = b$, $x_5 = c$ とすると、

$x_2 = 2 - b - c$

$x_1 = 2a - b + c - 1$

3. 最終的な答え

$ \begin{cases}

x_1 = 2a - b + c - 1 \\

x_2 = 2 - b - c \\

x_3 = a \\

x_4 = b \\

x_5 = c

\end{cases} $

ここで、$a, b, c$ は任意の実数です。