与えられた直線の方程式 $y - Y = m(x - X)$ を楕円の方程式 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ に代入するという問題です。ここで、$X$ と $Y$ は定数、$m$ は傾き、$x$ と $y$ は変数です。

1. 問題の内容

与えられた直線の方程式 $y - Y = m(x - X)$ を楕円の方程式 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ に代入するという問題です。ここで、$X$ と $Y$ は定数、$m$ は傾き、$x$ と $y$ は変数です。

2. 解き方の手順

(1) 直線の方程式 $y - Y = m(x - X)$ を $y$ について解きます。

$y = m(x - X) + Y$

$y = mx - mX + Y$

(2) この式を楕円の方程式 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ に代入します。

$\frac{x^2}{9} + \frac{(mx - mX + Y)^2}{16} = 1$

(3) この式を展開します。

$\frac{x^2}{9} + \frac{m^2x^2 - 2m(mX-Y)x + (mX-Y)^2}{16} = 1$

(4) 両辺に $144$ を掛けて分母を払います。

$16x^2 + 9[m^2x^2 - 2m(mX-Y)x + (mX-Y)^2] = 144$

$16x^2 + 9m^2x^2 - 18m(mX-Y)x + 9(mX-Y)^2 = 144$

(5) $x^2$, $x$, および定数項について整理します。

$(16 + 9m^2)x^2 - 18m(mX-Y)x + 9(mX-Y)^2 - 144 = 0$

これは $x$ についての二次方程式です。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{9} + \frac{(mx - mX + Y)^2}{16} = 1$

または

$(16 + 9m^2)x^2 - 18m(mX-Y)x + 9(mX-Y)^2 - 144 = 0$