与えられた分数式の加算問題を解きます。問題は次の式を計算することです。 $\frac{x-3}{x^2-1} + \frac{3x}{x^2+x-2}$

1. 問題の内容

与えられた分数式の加算問題を解きます。問題は次の式を計算することです。

$\frac{x-3}{x^2-1} + \frac{3x}{x^2+x-2}$

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

これにより、式は次のようになります。

$\frac{x-3}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x}{(x+2)(x-1)}$

次に、共通分母を見つけます。共通分母は$(x-1)(x+1)(x+2)$です。

各分数に、共通分母にするために必要な因子を掛けます。

$\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)(x+2)} + \frac{3x(x+1)}{(x+2)(x-1)(x+1)}$

分子を展開します。

$\frac{x^2 - x - 6}{(x-1)(x+1)(x+2)} + \frac{3x^2 + 3x}{(x+2)(x-1)(x+1)}$

分子を足し合わせます。

$\frac{x^2 - x - 6 + 3x^2 + 3x}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

分子を整理します。

$\frac{4x^2 + 2x - 6}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$4x^2 + 2x - 6 = 2(2x^2 + x - 3) = 2(2x+3)(x-1)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{2(2x+3)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

$(x-1)$の因子を約分します。

$\frac{2(2x+3)}{(x+1)(x+2)}$

分子を展開すると、

$\frac{4x+6}{x^2+3x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4x+6}{x^2+3x+2}$

または

$\frac{2(2x+3)}{(x+1)(x+2)}$