与えられた数式を簡約化する問題です。具体的には、次の式を計算します。 $\frac{bc}{(b-c)(c-a)} + \frac{ca}{(c-a)(a-b)} + \frac{ab}{(a-b)(b-c)}$

1. 問題の内容

与えられた数式を簡約化する問題です。具体的には、次の式を計算します。

$\frac{bc}{(b-c)(c-a)} + \frac{ca}{(c-a)(a-b)} + \frac{ab}{(a-b)(b-c)}$

2. 解き方の手順

通分して分母を揃えます。分母は$(a-b)(b-c)(c-a)$になるので、各項の分子と分母に不足している因子を掛けます。

* 第1項: $\frac{bc}{(b-c)(c-a)}$ に $\frac{(a-b)}{(a-b)}$ を掛ける。

* 第2項: $\frac{ca}{(c-a)(a-b)}$ に $\frac{(b-c)}{(b-c)}$ を掛ける。

* 第3項: $\frac{ab}{(a-b)(b-c)}$ に $\frac{(c-a)}{(c-a)}$ を掛ける。

これにより、以下のようになります。

$\frac{bc(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{ca(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{ab(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

次に、分子をまとめます。

$\frac{bc(a-b) + ca(b-c) + ab(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

分子を展開します。

$\frac{abc - b^2c + abc - c^2a + abc - a^2b}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{3abc - b^2c - c^2a - a^2b}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

分子を変形します。

$bc(a-b) + ca(b-c) + ab(c-a) = abc - b^2c + abc - c^2a + abc - a^2b = abc-b^2c+bca-c^2a+cab-a^2b$

$= abc - b^2c + bca - c^2a + cab - a^2b = - (a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2)$

$= - [a^2(b-c) + b^2c - bc^2 + c^2a]$

$= - [a^2(b-c) + bc(b-c) - a(b^2-c^2)]$

$= - [a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) - bc(b-c) ]$

$= - (b-c)[a^2 - a(b+c) + bc]$

$= - (b-c) [a^2 - ab - ac + bc]$

$= - (b-c) [a(a-b) - c(a-b)]$

$= - (b-c)(a-b)(a-c)$

$= (a-b)(b-c)(c-a)$

したがって、元の式は以下のようになります。

$\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0$

分子は以下のように変形できます。

$bc(a-b) + ca(b-c) + ab(c-a) = abc - b^2c + abc - ac^2 + abc - a^2b = abc - b^2c + bca - c^2a + cab - a^2b = a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

$bc(a-b) + ca(b-c) + ab(c-a) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

$\frac{abc-b^2c +bca-c^2a +cab-a^2b}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{abc-b^2c +bca-c^2a +cab-a^2b}{(a-b)(b-c)(c-a)} =\frac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=1$

3. 最終的な答え

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