与えられた分数式の和を計算する問題です。問題の式は以下の通りです。 $\frac{ca}{(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(b-c)(c-a)} + \frac{bc}{(c-a)(a-b)}$

1. 問題の内容

与えられた分数式の和を計算する問題です。問題の式は以下の通りです。

$\frac{ca}{(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(b-c)(c-a)} + \frac{bc}{(c-a)(a-b)}$

2. 解き方の手順

まず、分母を共通化します。共通の分母は $(a-b)(b-c)(c-a)$ となります。

各分数を共通の分母で表すと、次のようになります。

$\frac{ca(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{bc(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

次に、分子を足し合わせます。

$\frac{ca(c-a) + ab(a-b) + bc(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

分子を展開します。

$\frac{c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

分子を整理します。

$\frac{- ca^2 + c^2a + a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

分子を因数分解します。

$c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 = -(a-b)(b-c)(c-a)$

よって、

$\frac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

最後に、式を簡約化します。分子と分母が同じなので、約分できます。ただし、$a\neq b$, $b\neq c$, $c\neq a$とします。

$\frac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = -1$

3. 最終的な答え

-1