与えられた連立一次方程式を解く問題です。 与えられた連立一次方程式は以下の通りです。 $3x_1 + 4x_2 - 6x_3 + 7x_4 + x_5 = 5$ $x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 5x_4 + 3x_5 = 7$ $-x_1 - x_2 + 2x_3 - 2x_4 = -1$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題です。

与えられた連立一次方程式は以下の通りです。

$3x_1 + 4x_2 - 6x_3 + 7x_4 + x_5 = 5$

$x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 5x_4 + 3x_5 = 7$

$-x_1 - x_2 + 2x_3 - 2x_4 = -1$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を行列で表現します。

$\begin{bmatrix}

3 & 4 & -6 & 7 & 1 \\

1 & 4 & -2 & 5 & 3 \\

-1 & -1 & 2 & -2 & 0

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

5 \\ 7 \\ -1

\end{bmatrix}$

拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix}

3 & 4 & -6 & 7 & 1 & 5 \\

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

-1 & -1 & 2 & -2 & 0 & -1

\end{bmatrix}$

行基本変形を用いて、階段行列に変形します。

まず、1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

3 & 4 & -6 & 7 & 1 & 5 \\

-1 & -1 & 2 & -2 & 0 & -1

\end{bmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引きます。

3行目に1行目を足します。

$\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

0 & -8 & 0 & -8 & -8 & -16 \\

0 & 3 & 0 & 3 & 3 & 6

\end{bmatrix}$

2行目を-8で割ります。

3行目を3で割ります。

$\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2

\end{bmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

1行目から2行目の4倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & -2 & 1 & -1 & -1 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

$x_3 = s$, $x_4 = t$, $x_5 = u$ とおくと、

$x_1 = 2s - t + u - 1$

$x_2 = -t - u + 2$

3. 最終的な答え

$x_1 = 2s - t + u - 1$

$x_2 = -t - u + 2$

$x_3 = s$

$x_4 = t$

$x_5 = u$

(s, t, u は任意の実数)