与えられた2次式を平方完成させる問題です。具体的には以下の9つの式を平方完成させる必要があります。 (1) $x^2 + 2x$ (2) $x^2 - 8x$ (3) $x^2 + 4x + 6$ (4) $x^2 - 6x + 5$ (5) $x^2 - 10x + 30$ (6) $x^2 + 3x$ (7) $x^2 - x + 2$ (8) $x^2 - 5x + 6$ (9) $x^2 + 7x + 14$

1. 問題の内容

与えられた2次式を平方完成させる問題です。具体的には以下の9つの式を平方完成させる必要があります。

(1) $x^2 + 2x$

(2) $x^2 - 8x$

(3) $x^2 + 4x + 6$

(4) $x^2 - 6x + 5$

(5) $x^2 - 10x + 30$

(6) $x^2 + 3x$

(7) $x^2 - x + 2$

(8) $x^2 - 5x + 6$

(9) $x^2 + 7x + 14$

2. 解き方の手順

平方完成は、与えられた2次式を$(x + a)^2 + b$の形に変形することです。

一般的な手順は以下の通りです。

1. $x^2$の係数が1であることを確認します。もし1でなければ、式全体をその係数で割ります。

2. $x$の係数を2で割り、その結果を2乗します。

3. ステップ2で得られた値を、式に足し、同時に引きます。

4. $x$を含む最初の3つの項を完全平方式としてまとめます。

5. 残りの定数項を整理します。

以下に、それぞれの式について手順を適用します。

(1) $x^2 + 2x$

$x$の係数は2なので、半分は1、2乗すると1。

$x^2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1)^2 - 1$

(2) $x^2 - 8x$

$x$の係数は-8なので、半分は-4、2乗すると16。

$x^2 - 8x + 16 - 16 = (x - 4)^2 - 16$

(3) $x^2 + 4x + 6$

$x$の係数は4なので、半分は2、2乗すると4。

$x^2 + 4x + 4 - 4 + 6 = (x + 2)^2 + 2$

(4) $x^2 - 6x + 5$

$x$の係数は-6なので、半分は-3、2乗すると9。

$x^2 - 6x + 9 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$

(5) $x^2 - 10x + 30$

$x$の係数は-10なので、半分は-5、2乗すると25。

$x^2 - 10x + 25 - 25 + 30 = (x - 5)^2 + 5$

(6) $x^2 + 3x$

$x$の係数は3なので、半分は$\frac{3}{2}$、2乗すると$\frac{9}{4}$。

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

(7) $x^2 - x + 2$

$x$の係数は-1なので、半分は$-\frac{1}{2}$、2乗すると$\frac{1}{4}$。

$x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 2 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$

(8) $x^2 - 5x + 6$

$x$の係数は-5なので、半分は$-\frac{5}{2}$、2乗すると$\frac{25}{4}$。

$x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} + 6 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$

(9) $x^2 + 7x + 14$

$x$の係数は7なので、半分は$\frac{7}{2}$、2乗すると$\frac{49}{4}$。

$x^2 + 7x + \frac{49}{4} - \frac{49}{4} + 14 = (x + \frac{7}{2})^2 + \frac{7}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 1)^2 - 1$

(2) $(x - 4)^2 - 16$

(3) $(x + 2)^2 + 2$

(4) $(x - 3)^2 - 4$

(5) $(x - 5)^2 + 5$

(6) $(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

(7) $(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$

(8) $(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$

(9) $(x + \frac{7}{2})^2 + \frac{7}{4}$