A, B間の距離が10kmである。つよしはAからBへ、ゆうきはBからAへ向かい、AB間をそれぞれ1往復する。つよしとゆうきが同時に出発したところ、行きはAから6kmの地点で出会い、帰りは出発から2時間後に再び出会った。つよしの速さを$x$ km/時、ゆうきの速さを$y$ km/時とするとき、それぞれの速さを求める。

1. 問題の内容

A, B間の距離が10kmである。つよしはAからBへ、ゆうきはBからAへ向かい、AB間をそれぞれ1往復する。つよしとゆうきが同時に出発したところ、行きはAから6kmの地点で出会い、帰りは出発から2時間後に再び出会った。つよしの速さを$x$ km/時、ゆうきの速さを$y$ km/時とするとき、それぞれの速さを求める。

2. 解き方の手順

まず、行きに出会った地点がAから6kmの地点であることから、つよしが6km進んだとき、ゆうきは4km進んだことがわかる。したがって、速さの比は$x:y = 6:4 = 3:2$となる。このことから、$2x = 3y$という式が得られる。

次に、帰りは出発から2時間後に出会ったことから、2時間でつよしとゆうきの進んだ距離の合計は、AB間の距離10kmの2倍である20kmに等しい。したがって、$2x + 2y = 20$という式が得られる。これを整理すると、$x+y=10$となる。

上記の2つの式を連立方程式として解く。

$2x = 3y$ (1)

$x + y = 10$ (2)

式(2)より、$x = 10 - y$。これを式(1)に代入する。

$2(10 - y) = 3y$

$20 - 2y = 3y$

$5y = 20$

$y = 4$

$x = 10 - y = 10 - 4 = 6$

よって、$x = 6$ km/時、$y = 4$ km/時となる。

3. 最終的な答え

$2x = 3y$

$2x + 2y = 20$

$x = 6$, $y = 4$

よって、つよしさんの速さは6km/時、ゆうきさんの速さは4km/時となる。