与えられた常微分方程式 $\frac{dN}{dt} = \alpha N + \beta$ を解く問題です。ここで、$\alpha$ と $\beta$ は定数であり、$\beta > 0$ であることが与えられています。これは定数係数の非同次線形微分方程式です。

1. 問題の内容

与えられた常微分方程式 $\frac{dN}{dt} = \alpha N + \beta$ を解く問題です。ここで、$\alpha$ と $\beta$ は定数であり、$\beta > 0$ であることが与えられています。これは定数係数の非同次線形微分方程式です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離法で解くことができます。

まず、$\frac{dN}{dt} = \alpha N + \beta$ を変形します。

$\frac{dN}{\alpha N + \beta} = dt$

両辺を積分します。

$\int \frac{dN}{\alpha N + \beta} = \int dt$

左辺の積分は、$\alpha N + \beta = u$ と置換することで計算できます。すると、$\alpha dN = du$ より、$dN = \frac{1}{\alpha} du$ となります。したがって、

$\int \frac{dN}{\alpha N + \beta} = \int \frac{1}{\alpha} \frac{du}{u} = \frac{1}{\alpha} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{\alpha} \ln|u| + C_1 = \frac{1}{\alpha} \ln|\alpha N + \beta| + C_1$

右辺の積分は、

$\int dt = t + C_2$

となります。よって、

$\frac{1}{\alpha} \ln|\alpha N + \beta| = t + C$

ここで、$C = C_2 - C_1$ は積分定数です。両辺に $\alpha$ をかけます。

$\ln|\alpha N + \beta| = \alpha t + \alpha C$

両辺の指数を取ります。

$|\alpha N + \beta| = e^{\alpha t + \alpha C} = e^{\alpha t} e^{\alpha C}$

$\alpha N + \beta = \pm e^{\alpha C} e^{\alpha t} = A e^{\alpha t}$

ここで、$A = \pm e^{\alpha C}$ は定数です。よって、

$\alpha N = A e^{\alpha t} - \beta$

したがって、

$N(t) = \frac{A}{\alpha} e^{\alpha t} - \frac{\beta}{\alpha}$

$N(t) = C' e^{\alpha t} - \frac{\beta}{\alpha}$

ここで、$C' = \frac{A}{\alpha}$ は新たな積分定数です。

3. 最終的な答え

$N(t) = C' e^{\alpha t} - \frac{\beta}{\alpha}$

ここで、$C'$ は積分定数です。