与えられた式が恒等式であることを示しなさい。 $\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}} = \tan\theta$

1. 問題の内容

与えられた式が恒等式であることを示しなさい。

$\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}} = \tan\theta$

2. 解き方の手順

与えられた式の左辺を変形して右辺に一致させることを試みます。

倍角の公式を利用します。$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x}$　です。

$x = \frac{\theta}{2}$ とおくと、

$\tan \theta = \frac{2 \tan \frac{\theta}{2}}{1-\tan^2 \frac{\theta}{2}}$

となり、与えられた式の左辺と一致します。

3. 最終的な答え

$\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}} = \tan\theta$