A町から峠を越えてB町まで往復した。行きはA町から峠まで時速2km、峠からB町まで時速3kmで4時間かかった。帰りはB町から峠まで時速2km、峠からA町まで時速3kmで4時間20分かかった。A町から峠までの道のりと峠からB町までの道のりをそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

A町から峠を越えてB町まで往復した。行きはA町から峠まで時速2km、峠からB町まで時速3kmで4時間かかった。帰りはB町から峠まで時速2km、峠からA町まで時速3kmで4時間20分かかった。A町から峠までの道のりと峠からB町までの道のりをそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

A町から峠までの距離を $x$ km、峠からB町までの距離を $y$ kmとする。

行きにかかった時間：

A町から峠まで $\frac{x}{2}$ 時間

峠からB町まで $\frac{y}{3}$ 時間

合計 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$

帰りにかかった時間：

B町から峠まで $\frac{y}{2}$ 時間

峠からA町まで $\frac{x}{3}$ 時間

合計 $\frac{y}{2} + \frac{x}{3} = 4 + \frac{20}{60} = 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$

上記の連立方程式を解く：

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ (1)

$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{3}$ (2)

(1) $\times 6$ より $3x + 2y = 24$ (3)

(2) $\times 6$ より $2x + 3y = 26$ (4)

(3) $\times 2$ より $6x + 4y = 48$ (5)

(4) $\times 3$ より $6x + 9y = 78$ (6)

(6) - (5) より $5y = 30$, よって $y = 6$

(3) に $y = 6$ を代入して $3x + 2(6) = 24$

$3x + 12 = 24$

$3x = 12$

$x = 4$

したがって、A町から峠までの距離は4km、峠からB町までの距離は6kmである。

3. 最終的な答え

A町から峠までの道のりは4km、峠からB町までの道のりは6km。