$x$ についての 2 次方程式 $x^2 - 4ax + 4a + 8 = 0$ が与えられている。 (1) この方程式が 1 より小さい 2 つの解を持つような実数 $a$ の範囲を求める。 (2) この方程式が -1 より小さい解と -1 より大きい解を持つような実数 $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$ についての 2 次方程式 $x^2 - 4ax + 4a + 8 = 0$ が与えられている。

(1) この方程式が 1 より小さい 2 つの解を持つような実数 $a$ の範囲を求める。

(2) この方程式が -1 より小さい解と -1 より大きい解を持つような実数 $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式 $x^2 - 4ax + 4a + 8 = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D/4 = (2a)^2 - (4a + 8) = 4a^2 - 4a - 8 = 4(a^2 - a - 2) = 4(a - 2)(a + 1)$ となる。

2つの実数解を持つためには、$D > 0$ より、$(a - 2)(a + 1) > 0$。したがって、$a < -1$ または $a > 2$。

解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より $\alpha + \beta = 4a$, $\alpha \beta = 4a + 8$。

2つの解が共に 1 より小さい条件は、$\alpha < 1$ かつ $\beta < 1$。

$(\alpha - 1) + (\beta - 1) < 0$ かつ $(\alpha - 1)(\beta - 1) > 0$ が必要。

$(\alpha - 1) + (\beta - 1) = \alpha + \beta - 2 = 4a - 2 < 0$ より、$a < \frac{1}{2}$。

$(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = 4a + 8 - 4a + 1 = 9 > 0$。

$f(x) = x^2 - 4ax + 4a + 8$ とすると、$f(1) > 0$ が必要。

$f(1) = 1 - 4a + 4a + 8 = 9 > 0$ は常に成立。

軸の位置が 1 より小さい必要がある。軸は $x = 2a$ なので、$2a < 1$ より $a < \frac{1}{2}$。

以上の条件をまとめると、$a < -1$ または $a > 2$、$a < \frac{1}{2}$ となり、共通部分は $a < -1$。

(2)

2次方程式 $x^2 - 4ax + 4a + 8 = 0$ が -1 より小さい解と -1 より大きい解を持つ条件は、$f(-1) < 0$。

$f(-1) = (-1)^2 - 4a(-1) + 4a + 8 = 1 + 4a + 4a + 8 = 8a + 9 < 0$。

したがって、$a < -\frac{9}{8}$。

3. 最終的な答え

(1)

$a < -1$

(2)

$a < -\frac{9}{8}$