(1) ベクトル $\vec{x} = (a, 2)$、$\vec{y} = (3, b)$、$\vec{p} = (b+1, a-2)$ とする。等式 $\vec{p} = 3\vec{x} - 2\vec{y}$ が成り立つとき、$a, b$ の値を求めよ。 (2) ベクトル $\vec{a} = (3, 2)$、$\vec{b} = (0, -1)$ のとき、$\vec{p} = (6, 1)$ を $s\vec{a} + t\vec{b}$ の形に表せ。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{x} = (a, 2)$、$\vec{y} = (3, b)$、$\vec{p} = (b+1, a-2)$ とする。等式 $\vec{p} = 3\vec{x} - 2\vec{y}$ が成り立つとき、$a, b$ の値を求めよ。

(2) ベクトル $\vec{a} = (3, 2)$、$\vec{b} = (0, -1)$ のとき、$\vec{p} = (6, 1)$ を $s\vec{a} + t\vec{b}$ の形に表せ。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{p} = 3\vec{x} - 2\vec{y}$ を成分で書き出す。

$(b+1, a-2) = 3(a, 2) - 2(3, b)$

$(b+1, a-2) = (3a, 6) - (6, 2b)$

$(b+1, a-2) = (3a-6, 6-2b)$

成分ごとに比較すると、

$b+1 = 3a-6$

$a-2 = 6-2b$

連立方程式を解く。

$b = 3a - 7$

$a = 8 - 2b$

$a = 8 - 2(3a - 7)$

$a = 8 - 6a + 14$

$7a = 22$

$a = \frac{22}{7}$

$b = 3(\frac{22}{7}) - 7$

$b = \frac{66}{7} - \frac{49}{7}$

$b = \frac{17}{7}$

(2)

$\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}$ を成分で書き出す。

$(6, 1) = s(3, 2) + t(0, -1)$

$(6, 1) = (3s, 2s) + (0, -t)$

$(6, 1) = (3s, 2s - t)$

成分ごとに比較すると、

$6 = 3s$

$1 = 2s - t$

連立方程式を解く。

$s = \frac{6}{3} = 2$

$1 = 2(2) - t$

$1 = 4 - t$

$t = 3$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{22}{7}$, $b = \frac{17}{7}$

(2) $s = 2$, $t = 3$

$\vec{p} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$