以下の3つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{1}^{4} x(x-1) \, dx$ (2) $\int_{0}^{3} (x-1)(x+2) \, dx$ (3) $\int_{-1}^{0} (3-x)^2 \, dx$

1. 問題の内容

以下の3つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{1}^{4} x(x-1) \, dx$

(2) $\int_{0}^{3} (x-1)(x+2) \, dx$

(3) $\int_{-1}^{0} (3-x)^2 \, dx$

2. 解き方の手順

(1) まず、$x(x-1)$ を展開し、積分を計算します。

$\int_{1}^{4} x(x-1) \, dx = \int_{1}^{4} (x^2 - x) \, dx$

$= \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{4}$

$= \left( \frac{1}{3}(4^3) - \frac{1}{2}(4^2) \right) - \left( \frac{1}{3}(1^3) - \frac{1}{2}(1^2) \right)$

$= \left( \frac{64}{3} - \frac{16}{2} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right)$

$= \frac{64}{3} - 8 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

$= \frac{63}{3} - 8 + \frac{1}{2}$

$= 21 - 8 + \frac{1}{2}$

$= 13 + \frac{1}{2} = \frac{27}{2}$

(2) まず、$(x-1)(x+2)$ を展開し、積分を計算します。

$\int_{0}^{3} (x-1)(x+2) \, dx = \int_{0}^{3} (x^2 + 2x - x - 2) \, dx = \int_{0}^{3} (x^2 + x - 2) \, dx$

$= \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x \right]_{0}^{3}$

$= \left( \frac{1}{3}(3^3) + \frac{1}{2}(3^2) - 2(3) \right) - \left( \frac{1}{3}(0^3) + \frac{1}{2}(0^2) - 2(0) \right)$

$= \frac{27}{3} + \frac{9}{2} - 6 - 0$

$= 9 + \frac{9}{2} - 6$

$= 3 + \frac{9}{2} = \frac{6}{2} + \frac{9}{2} = \frac{15}{2}$

(3) まず、$(3-x)^2$ を展開し、積分を計算します。

$\int_{-1}^{0} (3-x)^2 \, dx = \int_{-1}^{0} (9 - 6x + x^2) \, dx$

$= \left[ 9x - 3x^2 + \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^{0}$

$= \left( 9(0) - 3(0)^2 + \frac{1}{3}(0)^3 \right) - \left( 9(-1) - 3(-1)^2 + \frac{1}{3}(-1)^3 \right)$

$= 0 - \left( -9 - 3 - \frac{1}{3} \right)$

$= 9 + 3 + \frac{1}{3} = 12 + \frac{1}{3} = \frac{36}{3} + \frac{1}{3} = \frac{37}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{27}{2}$

(2) $\frac{15}{2}$

(3) $\frac{37}{3}$