大小中3個のサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求める。 (1) 3つのサイコロの目がすべて異なる。 (2) 少なくとも2つのサイコロの目が同じである。 (3) 3つのサイコロの目の積が3の倍数である。 (4) 3つのサイコロの目の和が奇数である。

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求める。

(1) 3つのサイコロの目がすべて異なる。

(2) 少なくとも2つのサイコロの目が同じである。

(3) 3つのサイコロの目の積が3の倍数である。

(4) 3つのサイコロの目の和が奇数である。

2. 解き方の手順

(1) 3つのサイコロの目がすべて異なる場合

まず、大きいサイコロの目は6通り、中のサイコロの目は大きいサイコロと異なる5通り、小さいサイコロの目は大きい、中のサイコロと異なる4通り。したがって、場合の数は$6 \times 5 \times 4 = 120$通り。

(2) 少なくとも2つのサイコロの目が同じである場合

全体の場合の数から3つのサイコロの目がすべて異なる場合を引けばよい。全体の場合の数は$6^3 = 216$通り。目がすべて異なる場合は(1)より120通り。したがって、少なくとも2つのサイコロの目が同じである場合は、$216 - 120 = 96$通り。

(3) 3つのサイコロの目の積が3の倍数である場合

3つの目の積が3の倍数にならない（＝どの目も3の倍数でない）場合の数を求め、全体から引く。

3の倍数でない目は1, 2, 4, 5の4つ。3つのサイコロとも3の倍数でない場合は$4^3 = 64$通り。全体の場合の数は$6^3 = 216$通り。

したがって、目の積が3の倍数である場合は$216 - 64 = 152$通り。

(4) 3つのサイコロの目の和が奇数である場合

3つのサイコロの目の和が奇数になるのは、

* 奇数、奇数、奇数の場合

* 奇数、偶数、偶数の場合

* 偶数、奇数、偶数の場合

* 偶数、偶数、奇数の場合

のいずれかである。

奇数の目は1, 3, 5の3つ、偶数の目は2, 4, 6の3つ。

* 奇数、奇数、奇数の場合：$3 \times 3 \times 3 = 27$通り

* 奇数、偶数、偶数の場合：$3 \times 3 \times 3 = 27$通り

* 偶数、奇数、偶数の場合：$3 \times 3 \times 3 = 27$通り

* 偶数、偶数、奇数の場合：$3 \times 3 \times 3 = 27$通り

したがって、目の和が奇数である場合は$27 + 27 + 27 + 27 = 108$通り。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 96通り

(3) 152通り

(4) 108通り